Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Considere os pontos P = ( 1,0 , 0 ) , Q = ( 3,0 , 0 ) e a reta

r : X = 2,0 , 0 + λ 1,1 , 1 ,     λ ∈ R

Seja π um plano tal que d P , π = d Q , π = 1 , a reta r não intersecte π e o ponto ( 0 , 2 , 0 ) não pertença a π . Se a , b , c   ∈ R são tais que uma equação geral para π é

a x + b y + c z + 2 = 0 ,

Então a + b - c é igual a

a ) - 1 ;

b )   2 ;

c )   2 ;

d )   1 ;

e )   3 .

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora lá para mais um probleminha.

Essa questão nos dá muita informação, vamos tentar separar elas e ir organizando as coisas aos poucos, primeiro vamos usar o fato de d P , π = d Q , π .

Para isso, vamos lembrar que se temos um plano do tipo:

a x + b y + c z = d

E um ponto P = ( x o , y 0 , z 0 ) podemos calcular a distância desse ponto ao plano pela seguinte relação:

d P , π = a x o + b y 0 + c z 0 - d a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Vamos aplicar isso nos pontos e plano da questão:

Lembrando que P = ( 1,0 , 0 ) , Q = ( 3,0 , 0 ) e π :   a x + b y + c z = - 2

d P , π = a + 2 a 2 + b 2 + c 2

e

d Q , π = 3 a + 2 a 2 + b 2 + c 2

Porém, sabemos que esses carinhas são iguais, ou seja:

a + 2 a 2 + b 2 + c 2 = 3 a + 2 a 2 + b 2 + c 2

O que nos dá que:

a + 2 = 3 a + 2

E por isso, temos duas opções:

a + 2 = 3 a + 2   → a = 0

o u

a + 2 =   - 3 a - 2

E dessa última, tiramos que:

a = - 2 2

Passo 3

Então, vamos lá, usando uma das trocentas informações, tiramos que:

a = 0   e   a = - 2 2 são possíveis opções para nosso a .

Agora, vamos guardar isso, e olhar para o fato da reta r não cortar o nosso plano π .

Para entender o que está ocorrendo, vamos pensar no seguinte. Temos 3 opções para uma reta e um plano se comportarem no espaço:

1 . A reta está sobre o plano

2 . A reta corta o plano em 1 ponto

3 . A reta é paralela ao plano

Como na questão a reta não corta o plano, o que nos resta (olhando para as opções acima) é que a reta é paralela ao plano.

Agora pense, se temos uma reta paralela ao plano, o que podemos dizer do vetor diretor dessa reta e do vetor normal ao plano??

Podemos dizer que o vetor diretor da reta, que no caso do problema é o ( 1,1 , 1 ) é perpendicular ao vetor normal ao plano, talvez para pensar nisso, pense que o vetor normal ao plano é perpendicular aos vetores do plano, que por sua vez são paralelos a ( 1,1 , 1 ) , ou seja, o vetor normal será perpendicular a ( 1,1 , 1 ) também.

Mas você sabe me dizer qual é o vetor normal ao plano? Para isso vamos lembrar o seguinte conceito:

Seja π   um plano qualquer do tipo   a x + b y + c z = d , temos que n = ( a , b , c ) é perpendicular a π .

Passo 4

Ou seja, unindo tudo isso, temos que 1,1 , 1 ⊥ a , b , c

Ou ainda:

a , b , c , 1,1 , 1 = 0

Logo, desenvolvendo esse produto interno:

a + b + c = 0

Agora, vamos com calma, pois temos duas opções para a .

(Caso a = 0 )

Colocando na equação acima, temos que b + c = 0

Usando que d P , π = a + 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1 ,     a = 0   e   b + c = 0

Temos:

b 2 + c 2 = 2   e   b + c = 0

Ou seja, colocando a segunda equação na primeira:

2 b 2 = 2 → b = ± 1

Passo 5

Organizando, temos as seguintes soluções:

a , b , c = 0,1 , - 1   e   a , b , c = ( 0 , - 1,1 )

Para ver se alguma delas é a solução verdadeira usaremos o fato de que ( 0 , 2 , 0 ) não tá no plano. Ou seja, podemos fazer a seguinte “conta”:

a 0 + b 2 + c 0 + 2 ≠ 0

Vamos pedir isso ( ≠ 0 ) , pois caso fosse igual a zero, teríamos que esse ponto tá no plano, o que não queremos.

Voltando... b 2 + 2 ≠ 0

Ou seja

b ≠ - 1

E isso exclui nossa segunda possível solução, sobrando que:

a , b , c = ( 0,1 , - 1 )

Veja que analisamos apenas o caso a = 0 , até agora, porém ele já nos deu uma possível resposta, basta checarmos se quando colocarmos esses pontos em d Q , π = 1 dará certo, caso isso ocorra todas as necessidades do enunciado estão sendo feitas e nem precisamos ver o outro caso.

Veremos se d Q , π = 3 a + 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1   para a , b , c = ( 0,1 , - 1 )

d Q , π = 2 1 + 1   = 1

Logo dá certo, e por isso chegamos a uma resposta, temos que:

a + b - c = 0 + 1 - - 1 = 2

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5