Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Sejam A , B , C , D pontos de E 3 que não estão em um mesmo plano e seja M o ponto do segmento C D tal que C M → = 2 M D → . Se α ,   β ,   γ são números reais tais que B M → = α A B → + β A C → + γ A D → ,   então o produto 9 α β γ vale:

a) - 2

b) 1

c) - 6

d) - 1

e) 3

Passo 1

Fala aí galerinha, tudo na paz?

Nessa questão temos um enunciado beeem enxuto. Basicamente, A , B , C e D são pontos de E 3 e M é um ponto que está no segmento C D e satisfaz:

C M → = 2 M D →

Daí, o enunciado escreve B M →   em função de outros vetores da seguinte forma:

B M → = α A B → + β A C → + γ A D →

O objetivo é que calculemos quanto vale

9 α β γ

Alguma ideia de como podemos fazer isso?

Bom, acho que a melhor ideia é tentarmos escrever B M → como soma de alguns vetores mais intuitivos até chegarmos na expressão em função de A B → ,     A C →     e   A D → .

Vem junto comigo que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Olha, pelo enunciado sabemos que M é um ponto no segmento C D . Assim, podemos escrever:

B M = B C + C M

B C vale:

B C = C - B

Somando e subtraindo A no lado direito da equação, temos:

B C = C - B + A - A

Reorganizando um pouco:

B C = C - A + A - B

= A C + B A

= A C - A B

Substituindo de volta, temos:

B M = B C + C M

= A C - A B + C M

Muito bom!

Pra ficar bonito como queremos falta só fazer aparecer A D

Passo 3

No passo anterior chegamos que:

B M = A C - A B + C M

O problema todo tá nesse C M . Mas o enunciado falou que:

C M = 2 M D

Precisamos interpretar um pouco essa informação. C D é um segmento, e M está no interior desse segmento, dividindo-o de modo que

C M = 2 M D

Mas, podemos escrever também que:

C D = C M + M D

= 2 M D + M D

= 3 M D

∴ M D = C D 3

Ou seja, é como se o ponto M dividisse o segmento C D em duas partes, de modo que:

C M = 2 M D = 2 C D 3

Assim, voltando na nossa equação principal, vem:

B M = A C - A B + C M

= A C - A B + 2 C D 3

E isso ajudou muito, vamos olhar com mais carinho pra C D :

C D = D - C

Somando e subtraindo A dos dois lados, vem:

C D = D - C + A - A

= D - A + A - C

= A D + C A

= A D - A C

Assim, temos:

B M = A C - A B + 2 C D 3

=   A C - A B + 2 3 A D - A C

B M = 1 3 A C - 1 ⋅ A B + 2 3 A D

Comparando com o que queríamos chegar:

B M → = α A B → + β A C → + γ A D →

Temos:

α = - 1 β = 1 3 γ = 2 3

Portanto:

9 α β γ = 9 ⋅ - 1 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3

=   - 2

Assim, chegamos na resposta: letra a).

Resposta

Letra a).

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5