Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

Seja b ∈ R . A distância entre o ponto P = b , b + 1,0 e o plano π : 2 x + y - 2 z - 3 = 0 é menor ou igual a 1 se, e somente se, b pertence ao intervalo

a) 2 3 , 8 3

b) - 1 3 , 5 3

c) 1 2 , 2

d) - 2 3 , 4 3

e) - 1 , 1 2

Passo 1

E aíí cara, tranquilo? Então vamos lá resolver esse exercício

Temos o ponto P = b , b + 1,0 e o plano π : 2 x + y - 2 z - 3 = 0

E aí o que acontece aqui é que queremos que a distância entre o ponto P e o plano π seja menor ou igual a 1 , ou seja

d P , π ≤ 1

E queremos saber qual o intervalo de valores que o b pode assumir pra isso acontecer. Só relembrando a notação de intervalo: dizer que o valor b deve estar no intervalo c , d significa dizer que c ≤ b ≤ d , suave?

Mas então para resolver esse exercício, vamos usar a fórmula de distância entre ponto e plano. Tendo um plano de equação geral a x + b y + c z + d = 0 e um ponto x 0 , y 0 , z 0 , a distância entre eles vai ser:

d = a . x 0 + b . y 0 + c . z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

E aí vamos ver quando essa distância vai ser menor ou igual a 1 , demorou?

Passo 2

Queremos escrever a fórmula de distância entre o plano π : 2 x + y - 2 z - 3 = 0 e o ponto P = b , b + 1,0 . Vai ficar assim:

d = a . x 0 + b . y 0 + c . z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d P , π = 2 . b + 1 . b + 1 - 2 . 0 - 3 2 2 + 1 2 + ( - 2 ) ²

E queremos que essa distância seja ≤ 1 , então:

2 . b + 1 . b + 1 - 2.0 - 3 2 2 + 1 2 + ( - 2 ) ² ≤ 1

Showw, agora é só encontrar os valores de b que cumprem com isso 😊

Passo 3

Temos:

2 . b + 1 . b + 1 - 2.0 - 3 2 2 + 1 2 + ( - 2 ) ² ≤ 1

Então vamos desenvolver essa inequação e encontrar os valores de b que cumprem com a condição.

2 b + b + 1 - 3 4 + 1 + 4 ≤ 1

3 b - 2 9 ≤ 1

Então:

3 b - 2 3 ≤ 1

3 b - 2 ≤ 3

Temos uma inequação com módulo do tipo x ≤ a . Nesses casos, podemos tirar o módulo escrevendo - a ≤ x ≤ a . Então:

- 3 ≤ 3 b - 2 ≤ 3

Passo 4

Então nossa inequação ficou assim:

- 3 ≤ 3 b - 2 ≤ 3

Do lado esquerdo, temos

3 b - 2 ≥ - 3

3 b ≥ - 1

b ≥ - 1 3

E do lado direito, temos

3 b - 2 ≤ 3

3 b ≤ 5

b ≤ 5 3

Logo, encontramos que o b tem que estar nesse intervalo:

- 1 3 ≤ b ≤ 5 3

E assim, a distância de P ao plano π vai ser menor ou igual a 1 😊

Então, a alternativa correta é a letra B, que dá o intervalo - 1 3 , 5 3

Resposta

b) - 1 3 , 5 3

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5