Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Considere o octaedro regular (isto é, cujas faces são triângulos equiláteros) de vértices A , B , C , D , E , F , conforme a figura

Sabendo que A = 0,0 , 0 , B = 1,0 , 1 , D = ( 1,0 , - 1 ) e que a segunda coordenada de E é positiva, se π é o plano que contém os pontos C , D , F e P = ( a , b , c ) é o ponto de π mais próximo de E , então 3 a + b + c é igual a

a) 6

b) 2

c) 5

d) 4

e) 3

Passo 1

Fala turma, belezinha?? Vamos lá entender esse exercício

Pra começar, ele dá um octaedro que vou mostrar de forma mais visual aqui pra vocês:

Esse octaedro é regular e cada letra representa um vértice dele. E aí sabemos as coordenadas de alguns pontos: A = 0,0 , 0 , B = 1,0 , 1 , D = 1,0 , - 1

Além disso, tem um plano π que contém os pontos C , D e F . Ou seja, ele contém o triângulo equilátero C D F . Nesse plano π , temos o ponto P = ( a , b , c ) , que é o ponto mais próximo do ponto E .

E aí o que queremos encontrar são as coordenadas a , b , c , do ponto P , para aí calcularmos 3 a + b + c

Tem duas chaves que precisamos para resolver esse exercício:

- A menor distância entre um ponto e um plano é a distância ortogonal ao plano. Ou seja, a distância que está na direção do vetor normal. Assim olha:

- Além disso, como é um octaedro regular, precisamos lembrar que A B | | C D , E B | D F ,   F B | D E , beleza?

Show!! Dito isso, o passo a passo para resolvermos esse problema é:

- Encontrar a equação do plano π (com isso, saberemos o seu vetor normal n )

- Encontrar as coordenadas do ponto E (lembrando que a segunda coordenada dele é positiva)

- O ponto P vai ser a intersecção do plano π com a reta que passa pelo ponto E e tem vetor diretor n

Passo 2

Vamos começar com as informações mais básicas que temos:

A = 0,0 , 0 , B = 1,0 , 1 , D = 1,0 , - 1

Com isso, podemos encontrar os vetores:

A B → = B - A = 1,0 , 1

A D → = D - A = 1,0 , - 1

B D → = D - B = 0,0 , - 2

Agora dá uma olhada na figura do octaedro:

Concorda que A B → é paralelo a C D → ? E também possuem o mesmo tamanho! Afinal, o octaedro é regular, simétricozinho

Show! Então podemos falar que o vetor que vai de A até B é o mesmo vetor que vai de D até C :

B = A + A B → → C = D + A B →

Portanto

C = 1,0 , - 1 + 1,0 , 1 = ( 2,0 , 0 )

Uhuuu, então já temos as coordenadas do ponto C também!!

Passo 3

Para encontrarmos a equação do plano π , já temos um vetor diretor: o vetor C D → = 1,0 , 1 . Também sabemos que o plano passa pelos pontos C = 2,0 , 0 e D = 1,0 , - 1 . Masss isso ainda não é suficiente para encontrarmos a equação. Precisamos das coordenadas do ponto F também!

Vamos chamar

F = f 1 , f 2 , f 3

Como o octaedro é regular, todas as arestas têm que ter o mesmo tamanho, certo? Por exemplo, pegando o tamanho do vetor C D → :

C D → = 1 2 + 0 2 + 1 2 = 2

Então necessariamente TODAS as arestas devem medir 2

Vamos pegar 3 arestas que passem pelo ponto F :

B F → = F - B = f 1 - 1 , f 2 , f 3 - 1

A F → = F - A = f 1 , f 2 , f 3

C F → = F - C = f 1 - 2 , f 2 , f 3

Sabemos que o tamanho de todas essas arestas deve ser 2 . Então, podemos montar o sistema:

f 1 - 1 2 + f 2 2 + f 3 - 1 2 = 2 f 1 2 + f 2 2 + f 3 ² = 2 f 1 - 2 2 + f 2 2 + f 3 2 = 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

f 1 - 1 2 + f 2 2 + f 3 - 1 2 = 2 f 1 2 + f 2 2 + f 3 ² = 2 f 1 - 2 2 + f 2 2 + f 3 2 = 2

Legal, vamos guardar esse sistema pra usar daqui a pouco.

Também sabemos que as arestas A F → e C F → são perpendiculares. Então o produto escalar entre elas vale 0 :

A F → . C F → = f 1 , f 2 , f 3 . f 1 - 2 , f 2 , f 3 = 0

f 1 2 - 2 f 1 + f 2 2 + f 3 2 = 0

Logo, temos que

f 1 2 + f 2 2 + f 3 2 = 2 f 1

Passo 4

Legal, estamos querendo encontrar as coordenadas de F = f 1 , f 2 , f 3 para chegarmos na equação do plano π .

Sabemos que

f 1 - 1 2 + f 2 2 + f 3 - 1 2 = 2 f 1 2 + f 2 2 + f 3 ² = 2 f 1 - 2 2 + f 2 2 + f 3 2 = 2

E que f 1 2 + f 2 2 + f 3 2 = 2 f 1

Substituindo isso na segunda equação do sistema:

2 f 1 = 2

f 1 = 1

Ebaaa, já temos a primeira coordenada!!

Substituindo f 1 = 1 nas outras equações:

f 2 2 + f 3 - 1 2 = 2 1 + f 2 2 + f 3 2 = 2

f 2 2 + f 3 2 - 2 f 3 + 1 = 2 f 2 2 + f 3 2 = 1

f 2 2 + f 3 2 - 2 f 3 = 1 f 2 2 + f 3 2 = 1

Subtraindo as duas equações:

- 2 f 3 = 0

f 3 = 0

Então:

f 2 2 + 0 2 = 1

f 2 = ± 1

Opa, então o ponto F pode ser 1,1 , 0 ou 1 , - 1,0

Mas olha só, como o ponto E cumpre as mesmas condições que usamos para encontrar o ponto F , ele também pode assumir essas coordenadas. Mas sabemos que a segunda coordenada do ponto E deve ser positiva. Então

E = 1,1 , 0

F = 1 , - 1,0

Olha só! Achamos os dois de uma vez só! Hahahaha

Passo 5

Agora que sabemos que F = 1 , - 1,0 , podemos encontrar mais um vetor diretor do plano π :

C F → = F - C = 1 , - 1,0 - 2,0 , 0 = - 1 , - 1,0

Ebaaa! Então o plano π passa pelo ponto C = 2,0 , 0 e tem vetores diretores C D → = 1,0 , 1 e C F → = - 1 , - 1,0

Agora já podemos encontrar a sua equação no formato geral:

π : a x + b y + c z + d = 0

Onde n = a , b , c é o vetor normal do plano

O vetor normal pode ser dado pelo produto vetorial entre os vetores diretores:

C D → × C F → = i ^ j ^ k ^ 1 0 1 - 1 - 1 0

C D → × C F → = i ^ j ^ k ^ 1 0 1 - 1 - 1 0 i ^ j ^ 1 0 - 1 - 1 = - j ^ - k ^ + i ^ = i ^ - j ^ - k ^

Então:

n = C D → × C F → = ( 1 , - 1 , - 1 )

Então a equação do plano π tem esse formato:

1 x - 1 y - 1 z + d = 0

Como o plano passa pelo ponto C = 2,0 , 0 , temos

1.2 - 1.0 - 1.0 + d = 0

d = - 2

Portanto, essa é a equação geral do plano π :

π : x - y - z - 2 = 0

Passo 6

Agora precisamos encontrar quem é o ponto do plano π que está mais próximo do ponto E = 1,1 , 0

Esse ponto vai ser a intersecção do plano π com a reta r , onde r é uma reta que passa pelo ponto E e tem vetor diretor n = 1 , - 1 , - 1 :

r : X = 1,1 , 0 + λ . 1 , - 1 , - 1

Um ponto genérico dessa reta pode ser escrito assim:

P = 1 + λ , 1 - λ , - λ

Como esse ponto também deve pertencer ao plano π , já que é uma intersecção, ele também vai cumprir com

π : x - y - z - 2 = 0

1 + λ - 1 - λ - - λ - 2 = 0

1 + λ - 1 + λ + λ = 2

3 λ = 2

λ = 2 3

Logo, o ponto de intersecção entre a reta e o plano vai ser

P = a , b , c = 1 + λ , 1 - λ , - λ = 1 + 2 3 , 1 - 2 3 , - 2 3 = 5 3 , 1 3 , - 2 3

Portanto, a = 5 3 , b = 1 3 , c = - 2 3

Logo:

3 a + b + c = 3 . 5 3 + 1 3 - 2 3 = 4

Então a alternativa correta é a letra D 😊

Ufff, essa foi longa hahahaha

Resposta

d) 4

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5