Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Passo 1

Fazendo a substituição:

y = x u

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d y d x = u ' x + u

Substituindo isso na equação vamos ter

x u ' x + u - x u = x 3 e u x u

Arrumando essa equação

x 2 u ' = x 2 y u u

Então:

u ' = e u u

d u d x u e - u = 1

Essa equação vai ser separável.

Passo 2

Vamos resolver essa equação separável

u e - u d u = d x

Integrando dos dois lados

∫ u e - u d u = ∫ d x

e - u u + 1 = x + C

Passo 3

A solução dessa equação envolve na verdade x e y , então temos que voltar para y , lembrando que

y = u x

Temos

u = y x

E a nossa solução vai ser

e - y x y x + 1 = x + C

Arrumando:

y + x = x x + C e y x

Resposta

y + x = x x + C e y x

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