Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Resolva a seguinte e.d.o por redução de ordem com a substituição v y x = y ' x :

y 2 y ' ' - y ' 3 = 0                     y > 0 , y ' > 0 .

Passo 1

Vamos a nossa questão! Ela é bem curtinha e direta ao ponto!

Precisamos resolver a EDO de segunda ordem utilizando a substituição v y = y ' .

Nosso primeiro passo é transformar a EDO de y ' ' e y ' para v ' e v . Isto é, vamos reduzir a ordem da EDO de segunda para primeira. Com isto, vamos começar determinando quem é y ' ' . Derivando a nossa relação de y ' e v (regra da cadeia), temos:

y ' ' = v ' y y ' = v ' y ' = v ' v

Fazendo a substituição, temos:

y 2 y ' ' - y ' 3 = 0

y 2 v ' v - v 3 = 0

y 2 v ' = v 2

Só que,

y 2 d v d y = v 2

d v v 2 = d y y 2

E assim chegamos a uma EDO separável de primeira ordem em relação a v e y . Precisamos integrá-la para resolve-la.

Passo 2

Continuando, integrando ambos os membros da equação do final do Passo 1, temos:

∫ d v v 2 = ∫ d y y 2

- 1 v = - 1 y + c

- 1 v = - 1 + c y y

v = y 1 - c y

Como tanto faz o sinal da constante c , podemos reescrever ela como - c , e assim obter:

v = y 1 + c y

Só que v = y ' = d y d x . Portanto, a nossa relação acima ainda é uma EDO. Isto é:

d y d x = y 1 + c y

1 + c y y d y = d x

1 y + c d y = d x

Outra EDO de primeira ordem separável para resolvermos.

Passo 3

Para finalizarmos a questão, basta repetirmos todo o processo do Passo 2, só que com a nossa nova EDO. Portanto,

∫ 1 y + c d y = ∫ d x

Integrando-a, temos:

ln ⁡ y + c y = x + k

E essa é o resultado da nossa questão. Percebam que nós temos duas constantes, c e k , na equação acima.

Resposta

ln ⁡ y + c y = x + k

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