Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Sabendo que a equação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear constante w suspenso sob a ação do próprio peso é

d 2 y d x 2 = w T 1 1 + d y d x 2

Em que T 1 é a tensão horizontal no fio em seu ponto mais baixo. Usando a substituição p = d y d x , resolva essa equação sujeita à condição inicial y 0 = 1 , y ' 0 = 0 .

Passo 1

Essa equação está com uma cara bem feia, vamos utilizar a substituição que ele deu pra ver se encontramos algo mais maneiro. Vamos lembrar que pela substituição nós sabemos que

p ' = d 2 y d x 2

Passo 2

Substituindo p ' e p .

p ' = w T 1 1 + p 2

Essa equação a gente já sabe resolver como separável. Vamos reescrever naquele formato de separável e partir pra resolução.

d p 1 + p 2 = w T 1 d x

Passo 3

Integrando os dois lados da equação sem somar a constante de integração.

∫ d p 1 + p 2

Para resolver essa integral vamos tomar p = sinh ⁡ u . Dessa forma

d p = cosh ⁡ u d u

∫ d p 1 + p 2 = ∫ cosh ⁡ u d u 1 + sinh 2 ⁡ u = ∫ cosh ⁡ u cosh ⁡ u d u = ∫ d u = u

Dessa forma temos

∫ d p 1 + p 2 = sinh - 1 ⁡ p

Passo 4

Integrando o lado direito da equação

∫ w T 1 d x = w T 1 x

Passo 5

Igualando os dois lados da equação e somando uma constante de integração C

sinh - 1 ⁡ p = w T 1 x + C

p = sinh ⁡ w T 1 x + C

Passo 6

Lembrando que p = d y d x

d y d x = sinh ⁡ w T 1 x + C

y = ∫ sinh ⁡ w T 1 x + C d x

y = T 1 w cosh ⁡ w T 1 x + C + D

Passo 7

Vamos aplicar os valores iniciais para acharmos os valores das constantes. Usando que y ' 0 = 0

d y d x = sinh ⁡ C = 0

Pela definição de seno hiberbolico como sinh ⁡ x = e x - e - x 2 , sabemos que.

sinh ⁡ C = 0 ⇒ C = 0

Usando agora que y 0 = 1

y = T 1 w cosh ⁡ 0 + D = 1

Pela definição de cosseno hiperbólico como cosh ⁡ x = e x + e - x 2 , sabemos que

cosh ⁡ 0 = 1 ⇒ D = 1 - T 1 w

Logo

y = T 1 w cosh ⁡ w T 1 x + 1 - T 1 w

Resposta

y = T 1 w cosh ⁡ w T 1 x + 1 - T 1 w

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