Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada

y d x + 1 + y e x d y = 0

Passo 1

Para fazermos uma substituição numa equação a principal ideia é procurar o que está dando problema e substituir isso. Analisando essa equação, o termo mais diferente é aquele y e x . Vamos tentar fazer a seguinte substituição pra dar um jeito naquele exponencial.

u = y e x

u e x = y

Passo 2

Calculando d y d x em função de u e x .

d y d x = d u d x 1 e x - u e x  

Dividindo a nossa equação inicial por d x

y + 1 + y e x y ' = 0

Substituindo y ' e y .

u e x + 1 + u u ' e x - u e x = 0

u e x + u ' e x - u e x + u u ' e x - u 2 e x = 0

1 + u u ' e x = u 2 e x

Como e x vai ser semore diferente de zero, podemos sumir com ele

1 + u u ' = u 2

Manipulando essa equação um pouco

1 + u u 2 d u = d x

Agora temos um bela equação separável e é só partir pra diversão.

Passo 3

Integrando o lado esquerdo da equação

∫ 1 + u u 2 d u = ∫ 1 u 2 d u + ∫ 1 u d u

∫ 1 + u u 2 d u = - 1 u + ln ⁡ | u |

Integrando o lado direito da equação

∫ d x = x

Passo 4

Igualando as duas integrais e somando uma constante de integração C .

- 1 u + ln ⁡ u = x + C

Substituindo u

- 1 y e x + ln ⁡ y e x = x + C

Como ln ⁡ y e x = ln ⁡ y + ln ⁡ e x = ln ⁡ y + x

- 1 y e x + ln ⁡ y + x = x + C

- 1 y e x + ln ⁡ y = C

Manipulando a equação temos

y ln ⁡ y = e - x + C y

Resposta

y ln ⁡ y = e - x + C y

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