Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp87-5

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada

d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4

Passo 1

Para fazermos uma substituição numa equação a principal ideia é procurar o que está dando problema e substituir isso. Analisando essa equação, se o termo na direita fosse função só de x tds os nosso problemas estariam resolvidos. Vamos tentar fazer a seguinte substituição pra dar um jeito naquele exponencial.

y = u x 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando d y d x em função de u e x .

d y d x = d u d x x 4 + 4 u x 3

Substiuindo y ' e y na equação

u ' x 4 + 4 u x 3 - 4 x u x 4 = 2 x 5 e u

u ' x 4 + 4 u x 3 - 4 u x 3 = 2 x 5 e u

u ' x 4 = 2 x 5 e u

d u d x = 2 x e u

Agora chegamos numa equação separável bonita. Vamos so escrever ela de uma forma mais elegante e vamos partir pra resolução.

e - u d u = 2 x d x

Passo 3

Integrando o lado esquerdo da equação

e - u d u = - e - u

Integrando o lado direito da equação

2 x d x = x 2

Passo 4

Igualando os dois lados e somando uma constante de integração C

- e - u = x 2 + C

Substituindo u na equação

e y x 4 = - x 2 - C

Resposta

e y x 4 = - x 2 - C

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