Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada

d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4

Passo 1

Para fazermos uma substituição em uma equação a principal ideia é procurar o que está dando problema e substituir isso. Analisando essa equação, se o termo na direita fosse função só de x tds os nosso problemas estariam resolvidos. Vamos tentar fazer a seguinte substituição pra dar um jeito naquele exponencial.

y = u x 4

Passo 2

Calculando d y d x em função de u e x .

d y d x = d u d x x 4 + 4 u x 3

Substituindo y ' e y na equação

u ' x 4 + 4 u x 3 - 4 x u x 4 = 2 x 5 e u

u ' x 4 + 4 u x 3 - 4 u x 3 = 2 x 5 e u

u ' x 4 = 2 x 5 e u

d u d x = 2 x e u

Agora chegamos numa equação separável bonita. Vamos escrever ela de uma forma mais elegante e vamos partir pra resolução.

e - u d u = 2 x d x

Passo 3

Integrando o lado esquerdo da equação

∫ e - u d u = - e - u

Integrando o lado direito da equação

∫ 2 x d x = x 2

Passo 4

Igualando os dois lados e somando uma constante de integração C

- e - u = x 2 + C

Substituindo u na equação

e   - y x 4 =   - x 2 - C

Resposta

e   - y x 4 =   - x 2 - C

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