Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

2) Resolva a equação x + y e 2 x y + x e 2 x y d y d x = 0 .

Passo 1

Bem, eu não sei você, mas estou com um pressentimento de substituição, heim! Sabe por que sinto isso? Por que a derivada de da exponencial é a exponencial! E olha que maneiro, se primeiro isolarmos a exponencial dessa soma...

x + e 2 x y y + x y ' = 0  

E quem é a derivada de e 2 x y ? Aplicando a regra da cadeia...

e 2 x y ' = e 2 x y ⋅ 2 x y ' →

E agora derivando implicitamente 2 x y aplicando primeiro a regra do produto normalmente...

e 2 x y ' = 2 e 2 x y ⋅ x ' y + x y ' →

Como a derivada de x é 1, ou seja... x ' = 1 , temos:

e 2 x y ' = 2 e 2 x y ⋅ y + x y '

E esse termo é quase o que temos lá na EDO! Então de fato substituição é útil (e quase sempre será quando estivermos lidando com exponencial de y )

Passo 2

Substituindo esse e 2 x y por outra função de x . No caso, vamos chamar de u x ou simplesmente u , para simplificar notação :

u = e 2 x y

Então...

u ' = e 2 x y ' = 2 e 2 x y ⋅ y + x y '   →

Logo...

u ' 2 = e 2 x y ⋅ y + x y '

Substituindo na EDO, ganhamos isso daqui, óh:

x + e 2 x y y + x y ' = 0     →

x + u ' 2 = 0     →

Passando pro outro lado o x ...

u ' 2 = - x     →

u ' = - 2 x

GANHAMOS A NOSSA EDO SEPARÁVEL!!! UHUUL!

Passo 3

Agora é só integrar dos dois lados...

∫ u ' d u = ∫ - 2 x d x     →

u = - x 2 + C

Como u = e 2 x y ...

e 2 x y = - x 2 + C   →

Poderíamos acabar aí, mas normalmente é bom tentar explicitar y x . Como nesse caso, temos exponencial, aplicamos l n dos dois lados:

ln ⁡ e 2 x y = ln ⁡ - x 2 + C   →

2 x y = ln ⁡ - x 2 + C →

y = ln ⁡ - x 2 + C 2 x

Resposta

y = ln ⁡ - x 2 + C 2 x

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