Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Resolva a equação diferencial d y d x = y cos 2 ⁡ ( y )

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer a gente resolva a equação diferencial. Vamos começar colocando tudo que tem y para um lado e tudo que tem x para o outro. Aí vai ficar assim:

1 y cos 2 ⁡ ( y )   d y = d x

Essa função cosseno, a gente pode tirar do denominador, né? Porque temos que :

1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Lembrando que sec ⁡ x significa secante de x . Fazendo essa mudança, ficamos com:

sec 2 ⁡ y y   d y = d x

Beleza, agora vamos integrar dos dois lados:

∫ sec 2 ⁡ y y   d y = ∫ d x

Para fazer essa integração, podemos usar o método da substituição da seguinte forma:

u = y → d u = 1 2 1 y d y  

Agora, podemos substituir isso na nossa integral e vai ficar:

∫ 2 sec 2 ⁡ u d u = ∫ d x

Com essa substituição, a nossa integração ficou bem mais tranquila. Chegamos a:

2 tan ⁡ u = x + C

A gente não pode esquecer de voltar o com o y que a gente tinha substituído.

2 tan ⁡ y = x + C

Maravilha!! Agora, podemos isolar o y na equação:

y = arctan ⁡ x + C 2

y = arctan ⁡ x + C 2 2

E prontinho, galera!! É isso!

Resposta

2 tan ⁡ y = x + C

y = arctan ⁡ x + C 2 2

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