Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Considere a equação diferencial

y ' = 17 y 5 ∙ cos ⁡ t - y

Determine n de modo que a mudança de variável z = y n transforme a EDO acima em uma equação diferencial linear. NÃO RESOLVA A EDO ACIMA!

Passo 1

Bem, se temos z = y n e temos uma equação diferencial em y , o grande segredo é isolar esse y e jogar na equação diferencial e ver no que vai dar! bora?:)

z = y n       ⇒             y = z 1 n

Bem, mas para aplicar isto na equação diferencial falta mais um detalhe: y ' .

Passo 2

A gente vai encontrar y ' derivando essa expressão acima, mas cuidado! Porque estamos trabalhando aqui com funções de t , ou seja

y t = z t 1 n

Logo, quando formos derivar, não devemos nos esquecer de aplicar a regra da cadeia! Veja só

y ' = d y d z ∙ z '

E quem é mesmo d y d z ?

Bem, ele é a derivada normal de y com relação a z , ou seja

d y d z = d z 1 n d z = 1 n ∙ z 1 n - 1

Portanto

y ' = 1 n ∙ z 1 n - 1 ∙ z '

Passo 3

Jogando esses caras na EDO

y ' = 17 y 5 ∙ cos ⁡ t - y

Vamos obter

1 n ∙ z 1 n - 1 ∙ z ' = 17 z 1 n 5 ∙ cos ⁡ t - z 1 n

Dividindo todo mundo por z 1 n

1 n ∙ z 1 n - 1 ∙ z '   z 1 n = 17 z 1 n 5 ∙ cos ⁡ t   z 1 n - z 1 n   z 1 n  

Simplificando o lado direito cortando z 1 n de cima com o de baixo

1 n ∙ z 1 n - 1 ∙ z '   z 1 n = 17 z 1 n 4 ∙ cos ⁡ t - 1

Se a gente se lembrar que z 1 n - 1 a gente pode quebrar em um produto por propriedade de potência

z 1 n - 1 = z 1 n ∙ z - 1

Teremos

1 n ∙ z 1 n ∙ z - 1 ∙ z '   z 1 n = 17 z 1 n 4 ∙ cos ⁡ t - 1

Cortando o termo z 1 n desse lado esquerdo

1 n ∙ z - 1 ∙ z ' = 17 z 1 n 4 ∙ cos ⁡ t - 1

Bem, esse termo z - 1 é a mesma coisa que 1 / z

1 n ∙ 1 z ∙ z ' = 17 z 1 n 4 ∙ cos ⁡ t - 1

Passando pro outro lado multiplicando

1 n ∙ z ' = 17 z z 1 n 4 ∙ cos ⁡ t - z

Por propriedade de potência, a gente pode multiplicar os expoentes de dentro desse parêntesis pelo de fora

1 n ∙ z ' = 17 z ∙ z 4 n ∙ cos ⁡ t - z

Somando os expoentes desse produto z ∙ z 4 n

1 n ∙ z ' = 17 z 4 n + 1 ∙ cos ⁡ t - z

Passo 4

Prontinho! Agora basta fazer uma análise mesmo !

Pra gente ter uma expressão linear devemos ter que ou o expoente desse cara z 4 n + 1 é zero, ou é 1. Analisando esses dois casos separados

1 º   c a s o                   4 n + 1 = 1         ⇒

                4 n = 0

O que é impossível para um n inteiro.

Logo, só sobrou o segundo caso:

2 º c a s o                   4 n + 1 = 0         ⇒

4 n = - 1         ⇒         n = - 4

Resposta

n = - 4

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