Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Use a substituição z = y + x + 1 para encontrar a solução da e.d.o:

d y d x = y + x + 1 2 - x - y y + x + 1

Passo 1

Então pessoal, nessa questão o enunciado já disse como ele quer que a gente resolva, então vamos direto ao ponto.

O primeiro passo é substituir o z = y + x + 1 naquela expressão:

d y d x = y + x + 1 2 - x - y y + x + 1 = z 2 - x - y z

Falta substituir aquele - x - y ali:

z = y + x + 1         ⇒         - x - y = - z + 1

Então:

d y d x = z 2 - z + 1 z

Passo 2

Beleza, já melhorou bastante, mas ainda falta tirar aquele d y / d x do lado esquerdo. Um jeito de fazer isso é derivando a nossa fórmula de substituição em relação a x :

z = y + x + 1

d z d x = d y d x + d x d x + d 1 d x

A derivada de x em relação a x é 1 , e a derivada da constante é zero:

d z d x = d y d x + 1

Então:

d y d x = d z d x - 1

Agora é só jogar isso na fórmula:

d z d x - 1 = z 2 - z + 1 z

Somando 1 dos dois lados:

d z d x = z 2 - z + 1 z + 1

E agora reescrevendo 1 = z / z :

d z d x = z 2 - z + 1 z + z z

d z d x = z 2 + 1 z

Ótimo, chegamos em uma e.d.o. separável! Agora a gente pode resolver pra encontrar uma função z x .

Passo 3

O primeiro passo é separar as variáveis: uma pra cada lado.

d z d x = z 2 + 1 z

z z 2 + 1 d z = d x

E agora temos que integrar dos dois lados:

∫ z z 2 + 1 d z = ∫ d x

Começamos resolvendo a integral do lado esquerdo.

I = ∫ z z 2 + 1 d z

Multiplicando os dois lados por 2 :

2 I = ∫ 2 z z 2 + 1 d z

E agora, a função no numerador é exatamente a derivada da função no denominador: a integral é um logaritmo!

2 I = ln ⁡ z 2 + 1 + C 1

I = 1 2 ln ⁡ z 2 + 1 + 1 2 C 1

E então:

∫ z z 2 + 1 d z = ∫ d x

1 2 ln ⁡ z 2 + 1 + 1 2 C 1 = x + C 2

Agora vamos juntar as constantes em uma nova:

1 2 ln ⁡ z 2 + 1 = x + C 3

E a fração que multiplica o logaritmo pode virar um expoente:

ln ⁡ z 2 + 1 1 / 2 = x + C 3

ln ⁡ z 2 + 1 = x + C 3

E finalmente, tirando a exponencial dos dois lados:

e ln ⁡ z 2 + 1 = e x + C 3

z 2 + 1 = e x + C 3

Estamos quase lá, vamos isolar o z . Elevando os dois lados ao quadrado:

z 2 + 1 = e 2 x + 2 C 3

z = ± e 2 x + 2 C 3 - 1

E vamos trocar 2 C 3 = K , só pra simplificar:

z = ± e 2 x + K - 1

Agora sim!

Passo 4

Beleza, já achamos z x . Mas o que a gente quer mesmo é encontrar y x . Vamos substituir na fórmula lá de cima:

z = y + x + 1

y = z - x - 1

Subtituindo z x :

y = ± e 2 x + K - 1 - x - 1

É isso! Então nossa resposta final é: a e.d.o. tem duas soluções:

y 1 = + e 2 x + K - 1 - x - 1

y 2 = - e 2 x + K - 1 - x - 1

Pronto!

Resposta

As soluções da e.d.o. são: y 1 = + e 2 x + K - 1 - x - 1   e y 2 = - e 2 x + K - 1 - x - 1 .

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