Exercícios Resolvidos de Equação do 2º Grau

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Enunciado

3. Sejam a , b e c números reais com a ≠ 0 e considere a função f x = a x 2 + b x + c . Sabe-se que 2,2 é o único ponto de intersecção entre o gráfico de f e da reta de equação y = 2 e que a intersecção da reta de equação x = 0 com o gráfico f é o ponto 0 , - 6 . Então o valor de a + b + c é

  1. - 2
  2. 0
  3. 2
  4. 4
  5. 6

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte função,

f x = a x 2 + b x + c

Ou seja,

y = a x 2 + b x + c

E queremos saber quanto vale a + b + c .

Para isso, vamos usar as informações sobre alguns pontos que o enunciado nos disse: 2,2 e 0 , - 6 . Ou seja, com essa informação nós sabemos quanto vale y para um determinado x .

Agora vamos ver o que conseguimos com essa informação!

Passo 2

Vamos começar olhando para o ponto ( 2,2 ) . Ele quer dizer que quando x = 2 , y também será igual a 2 . Logo, podemos escrever que

2 = a 2 2 + b 2 + c

4 a + 2 b + c - 2 = 0

Olhando para o nosso segundo ponto, 0 , - 6 , ficamos com

- 6 = 4 0 2 + 2 0 + c

c = - 6

Opaaa, descobrimos quem é c . Então, vamos substituir na primeira equação que achamos,

4 a + 2 b - 6 - 2 = 0

4 a + 2 b - 8 = 0

Colocando 2 em evidencia, ficamos com

2 2 a + b - 4 = 0

Logo,

2 a + b = 4

Repara que temos duas icognitas e uma equação! Então precisamos encontrar mais uma relação com as informações dadas.

Passo 3

O enunciado disse que 2,2 é o único ponto de intersecção entre o gráfico de f e da reta de equação y = 2 e temos que nossa função é uma função do segundo grau. A parábola é simétrica, então não tem como uma reta horizontal (y=2) cruzar uma parábola em um ponto só, a não ser que esse ponto seja o vértice.

Deste modo, podemos aplicar a nossa equação do x do vértice, que é

x v = - b 2 a

Pelo ponto fornecido, temos que x v = 2 . Logo,

2 = - b 2 a

4 a = - b

Opaaa! Encontramos a nossa segunda equação, vamos montar o sistema!

Passo 4

Ficamos assim,

2 a + b = 4 4 a = - b

Resolvendo,

2 a - 4 a = 4

- 2 a = 4

a = - 2

Achando b ,

4 - 2 = - b

b = 8

Mas ainda não acabamos!

Passo 5

Lembra que o enunciado que queria saber quanto era a + b + c ? Agora é só substituir

a + b + c = - 2 + 8 - 6 = 0

Prontinho!

Resposta

b