Exercícios Resolvidos de Equação do 2º Grau

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Enunciado

A soma das raízes reais da equação abaixo é igual a:

x - 1 - 4 x - 1 2 + 3 = 0

  1. - 4
  2. 10 / 9
  3. 4 / 3  
  4. 3
  5. 4

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

A gente quando bate o olho nessa questão já fica doido pensando: “como eu vou tirar raiz dessas paradas aí?”

Mas fica tranquilo que vamos ajudar vocês a entender como se sair dessa, beleza?

A primeira coisa é a gente perceber é que vamos precisar fazer uma malandragem matemática nessa questão. E qual é dessa malandragem?

A gente vai mexer nos expoentes (OLHA O SPOILEERRR)!!! Agora que te dei esse spoiler, antes de passar pro próximo passo, tira 1 minutinho aí pra pensar no que você pode fazer com esse expoente pra tentar transformar ele, por exemplo, em uma equação de 2º grau.

Passo 2

Se você veio até esse passo aqui é sinal que pensou e agora quer ver se fez certinho, né? Então vem comigo!!

A primeira coisa que vamos fazer é transformar esses expoentes que estão negatvos em expoente positivos, e pra fazer isso, basta descer a potência alterando o sinal do expoente e cada parcela, e ficaremos com:

x - 1 - 4 x - 1 2 + 3 = 0

Que se torna:

1 x - 4 x 1 2 + 3 = 0

Show, agora vamos passar esse - 4 x 1 2 para o lado direito da equação, ficando com:

1 x + 3 = 4 x 1 2

Ficou até bonito,não foi?!

Veja, agora vem um passo bem importante. Esse 4 x 1 2 complica um pouco a nossa solução porque esse expoente sendo 1 2 é mais chatinho de resolver, então vamos elevar os dois lado da equação ao quadrado. Isso vai fazer com que ela fique mais tranquila. Veja:

1 x + 3 2 = 4 x 1 2 2

Resolvendo, ficaremos com:

1 x 2 + 6 x + 9 = 16 x

Agora vamos trazer o 16 x para o lado esquedo de novo pra fazer a redução dele com o 6 x , já que eles são termos semelhantes.

1 x 2 - 10 x + 9 = 0

Maravilha. Agora vamos tirar o m.m.c. entre todos os denominadores, que é

m . m . c . x 2 ,   x ,   1 = x 2

Dividindo embaixo e multiplicando em cima, ficamos com:

1 x 2 - 10 x x 2 + 9 x 2 x 2 = 0

Como nossa equação é igual a zero, podemos jogar os denominadores fora e trabalhar só com a parte de cima da equação, que será:

9 x 2 - 10 x + 1 = 0

AAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHHHH, AGORA VIROU UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDA GRAU QUE A GENTE CONSEGUE RESOLVER, NÉ? HAHAHA

Passo 3

Vamos agora aplicar nosso famoso Báskarah pra descobrir as raízes. Sendo elas:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Olhando pra nossa equação, agora precisamos saber quem é a, b e c, certo?

Uma equação de segundo grau sempre pode ser escrita como sendo: a x 2 + b x + c = 0

Então, se olharmos a nossa equação:

9 x 2 - 10 x + 1 = 0

a x 2 + b x + c = 0

a = 9

b = - 1 0

c = 1

Substituindo, temos:

x 1 = - ( - 10 ) + ( - 10 ) 2 - 4 9 1 2 ⋅ 9 = 10 + 100 - 36 18

x 1 = 10 + 8 18 = 18 18 = 1

Fazendo para x 2 vamos só precisar mudar o sinal ali de “+” pra “-“, certo?

x 2 = 10 - 8 18 = 2 18 = 1 9

Maravilha, achamos nossas raízes.

Passo 4

Mas precisamos lembrar que o enunciado pedia a soma das raízes, certo?

Então, a soma das raízes vai ser

x 1 + x 2 = 1 + 1 9

O que dará:

x 1 + x 2 = 10 9

Resposta

Resposta: Letra b)

x 1 + x 2 = 10 9