Exercícios Resolvidos de Equação do 2º Grau

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Enunciado

Resolva a equação abaixo (em R ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

x 4 - 10 x 2 = - 21 u = x 2

Passo 1

OK, vamos começar verificando o domínio. Como temos uma equação polinomial, o domínio será todo R , então:

D = x ∈ R

Passo 2

Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:

x 4 - 10 x 2 = - 21

x 2 2 - 10 ⋅ x 2 = - 21

Então, para a substituição desejada ( u = x 2 ):

u 2 - 10 u = - 21

Passo 3

Agora, isolando tudo de um lado, temos uma equação de segundo grau:

u 2 - 10 u + 21 = 0

Na forma: a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 1 b = - 10 c = 21

Que, por Bhaskara, tem solução:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = 10 ± - 10 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 21 2 ⋅ 1

u = 10 ± 100 - 84 2 = 10 ± 16 2 = 10 ± 4 2

Assim, para cada sinal:

u 1 = 10 + 4 2 = 14 2 = 7

u 2 = 10 - 4 2 = 6 2 = 3

Passo 4

Beleza, achamos u , mas queremos x . Então, para isso, usamos a definição:

u = x 2

Assim, para cada caso:

x 2 = 7

x = ± 7

Isso mesmo, vale tanto positivo quando negativo.

x 2 = 3

x = ± 3

Passo 5

Agora, resta testar cada um dos candidatos a solução. Para x = 7 :

x 4 - 10 x 2 = - 21

7 4 - 10 7 2 = - 21

49 - 10 ⋅ 7 = - 21

49 - 70 = - 21

- 21 = - 21

Então é solução, para x = - 7 , segue a mesma ideia:

- 7 4 - 10 - 7 2 = - 21

- 21 = - 21

Logo, também é solução.

Para x = 3 agora:

3 4 - 10 3 2 = - 21

9 - 10 ⋅ 3 = - 21

9 - 30 = - 21

- 21 = - 21

Logo, é de fato solução. Para x = - 3 :

- 3 4 - 10 - 3 2 = - 21

9 - 10 ⋅ 3 = - 21

9 - 30 = - 21

- 21 = - 21

Assim, nossas soluções serão:

S = + 7 , - 7 , 3 , - 3

Pronto!

Resposta

S = + 7 , - 7 , 3 , - 3