Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp43-12

Determine, por inspeção, duas soluções para o problema de valor inicial dado.

x d y d x = 2 y ,   y 0 = 0

Passo 1

Pelo que o enunciado nos diz, ele quer que resolvamos essa EDO achando uma solução condizente mas sem utilizar um método de resolução. Vamos botar a mão na massa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos relembrar uns conhecimentos úteis de derivada. Nós já sabemos que a derivada de uma constante é zero, como ele quer que y 0 = 0 parece justo tentarmos a solução y = 0 . Vamos testar.

x d y d x = x . 0 = 0

2 y = 2.0 = 0

Só alegria. Provamos que y = 0 é solução.

Passo 3

Vamos caçar outra solução agora. Fuçando nos nossos conhecimentos de derivada podemos lembrar que a derivada de uma função:

y = b x a

É:

d y d x = b a x a - 1

Podemos perceber que se multiplicarmos   d y d x por x obteremos:

x d y d x =   b a x a

Que tem o mesmo grau de y . Vamos testar essa solução no nosso problema.

b a x a = 2 b x a

a = 2

Pelas nossas contas obtemos que a função y = b x 2 pra qualquer constante b é solução do nosso problema.

Como a questão pede só duas soluções, vamos usar y = x 2 .

Passo 4

Resumindo, o que você vai fazer?

Achar uma função que funcione do jeito que o enunciado deu, ou seja:

x y '   =   2 y

No caso uma função y   =   0 ou de segundo grau.

Observe que se você pegar uma função de primeiro grau por exemplo, y   =   a x , não vai funcionar:

y   =   a x

y '   =   a

x y '   =   2 y

a x = 2 a x

1 = 2   D e u   r u i m .

Depois derivar a substituir y e sua derivada no enunciado.

Resposta

y = 0 ,           y = x 2

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