Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

Ver Teoria

Enunciado

Existem problemas de valor inicial da forma y ' = f t , y ,   y 0 = 0 , que possuem mais de uma solução.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso.

Passo 1

Oi pessoal, tudo tranquilo?

O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que nesse formato o PVI possui mais de uma solução.

Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um PVI. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos apenas uma solução para o PVI.

Eu pensei em usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quanto à existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?

Como o teorema garante que, uma vez satisfeitas as etapas, teremos apenas uma solução, então para haver mais de uma solução, precisamos que alguma ou algumas etapas falhem.

Passo 2

Agora vamos ao teorema!

Bom, precisamos lembrar o que nos diz o teorema da Existência e da Unicidade:

Seja um PVI na forma:

d y d t = f t , y ,   y t 0 = y 0

As etapas são:

Aplicando isso ao nosso caso, temos que x = t , só isso que muda!

Relembrando que precisamos que alguma ou algumas dessas etapas falhem para que o enunciado esteja correto.

Certo?

Agora vamos fazer cada um dos passos.

  1. Isolar a derivada
  2. y ' = d y d t = f ( t , y )

    Já temos, próximo passo!

  3. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f ∂ y .

Opa! Aqui não conseguimos identificar quem é a função! Ou seja, ela pode ser qualquer coisa! Inclusive funções em que em algum ponto não existam, como por exemplo:

f t , y = 1 t

Em t = 0 essa função não está definida, pois teríamos uma divisão por zero. Então, falhamos nessa etapa!

Ok?!

Passo 3

Como falhamos nessa etapa, podemos dizer que existem sim sistemas do tipo

d y d t = f ( t , y )

Com condição inicial y 0 = 0 que admitem várias soluções, já que sabemos que o teorema de existência e unicidade não foi satisfeito.

Logo a afirmativa está correta! É verdadeiro.

Resposta

v e r d a d e i r o

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. t t - 4 y ' + y = 0 , y 2 = 1
21 . Considere o problema de valor inicial y '=y 1 / 3 ,y ( 0 )=0 do Exemplo 3 no texto.(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(b) Existe uma solução que cont
23 . (a) Mostre que ϕ ( t )=e 2 t é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = cϕ(t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de y '+y 2 = 0
22. (a) Verifique se ambas as funçõesy 1 ( t )=1–t y 2 ( t )=– t 2 / 4 são soluções do problema de valor inicial y ' = - t + t 2 + 4 y2 y 2 =- 1 Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a
22. (a) Verifique se ambas as funçõesy 1 ( t )=1–t y 2 ( t )=– t 2 / 4 são soluções do problema de valor inicial y ' = - t + t 2 + 4 y2 y 2 =- 1 Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a