Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

Ver Teoria

Enunciado

O teorema de existência e unicidade diz que para que um problema de valor inicial da forma y ' = f t , y ,   y 0 = 1 , possua solução basta que a função f ( t , y ) esteja definida em todo plano R 2 .

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

O enunciado nos diz que para que um PVI na forma:

y ' = f t , y ,   y 0 = 1

Tenha solução é suficiente que a função f ( t , y ) esteja definida (não tenha indeterminação) em todo plano R 2 , isto é, que a função seja contínua para qualquer valor de t ou de y . Que se possa substituir quaisquer valores de t e y e que a função vai funcionar, não tenha divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, essas coisas...

Vamos verificar se isso é verdade?

Bom, quando falamos em ver se um PVI possui uma ou várias soluções, pensamos no Teorema da Existência e da Unicidade.

Esse teorema nos diz que, se forem satisfeitos todos os passos do teorema, esse PVI tem apenas uma solução. Então para ver se a afirmativa é verdadeira ou não, precisamos ver se o PVI dado satisfaz todas as condições dele.

Certo?

Passo 2

O teorema nos diz o seguinte. Para um PVI na forma:

d y d t = f t , y ,   y t 0 = y 0

Precisamos:

  1. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f / ∂ y
  2. Verificar onde as funções calculadas no passo 1 são contínuas
  3. Escolher um intervalo para t e outro para y onde as funções do passo 1 são contínuas e que contenham a condição inicial y t 0 = y 0

Se conseguir fazer os 3 passos, parabéns, temos que a solução existe e é única!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Se algum desses itens não for satisfeito, então esse PVI pode ou não ter solução, e essa solução pode ou não ser única. Resumindo: se alguma coisa falhar, não podemos dize nada sobre a solução!

Passo 4

Sendo assim, a função f ( t , y ) ser contínua em qualquer lugar, vai garantir que tenhamos um intervalo que a função é contínua e mais, podemos inserir esse ponto y 0 = 1 nesse intervalo, já que a função é contínua em todos os lugares.

Mas não é só isso que precisamos. Precisamos que a função seja contínua, sim, mas também que ∂ f ∂ y seja contínua, e isso nem sempre ocorre!

Uma função ser contínua não garante que ela tenha derivada, e muito menos que essa derivada seja contínua!

Vamos ver a função módulo de x : f x = y = | x |

Ela é uma função contínua, não existem buracos nela. Nós conseguimos desenhar ela sem tirar o lápis do papel. Mas essa função não é derivável em x = 0 , isso porque não temos apenas uma reta tangente que se apoie no gráfico nesse ponto. E se não existe uma reta apenas, a derivada não está definida.

Taí, então se não conseguimos garantir que uma função contínua tenha derivadas contínuas, então falhamos no passo 2 do nosso teorema. Para que a afirmativa do exercício fosse verdadeira, precisávamos que nenhum passo falhasse, o que não ocorreu.

Portanto a afirmativa é falsa.

Resposta

f a l s a

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. t t - 4 y ' + y = 0 , y 2 = 1
21 . Considere o problema de valor inicial y '=y 1 / 3 ,y ( 0 )=0 do Exemplo 3 no texto.(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(b) Existe uma solução que cont
23 . (a) Mostre que ϕ ( t )=e 2 t é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = cϕ(t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de y '+y 2 = 0
22. (a) Verifique se ambas as funçõesy 1 ( t )=1–t y 2 ( t )=– t 2 / 4 são soluções do problema de valor inicial y ' = - t + t 2 + 4 y2 y 2 =- 1 Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a
22. (a) Verifique se ambas as funçõesy 1 ( t )=1–t y 2 ( t )=– t 2 / 4 são soluções do problema de valor inicial y ' = - t + t 2 + 4 y2 y 2 =- 1 Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a