Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

O problema de valor inicial y ' - 8 t 3 y = c o s ⁡ ( t ) ,   y 0 = 5 , admite várias soluções.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que ele admite várias soluções.

Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um problema de valor inicial. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos uma solução para o PVI e ela é única.

Eu pensei em usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quando a existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?

Antes de falar as etapas desse teorema, vamos reorganizar o PVI dado!

Precisamos ter a derivada isolada de um lado e jogar tudo para o outro lado, dessa forma aqui:

y ' - 8 t 3 y = c o s ⁡ ( t )  

Fazendo y ' = d y d t e passando tudo pro outro lado:

d y d t = cos ⁡ t + 8 t 3 y ,   y 0 = 5

Agora vamos ao teorema!

Bom, precisamos lembrar o que nos diz o teorema da Existência e da Unicidade:

Aplicando isso ao nosso caso, temos que x = t , só isso que muda!

E se algum ou alguns itens não forem satisfeitos?

Se algumas dessas condições não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, e em caso de haver solução, essa pode ser única ou várias.

Então para que a afirmativa do enunciado seja verdadeira, nenhum desses 4 passos pode falhar!

Certo?

Passo 2

Agora vamos fazer cada um dos passos.

  1. Isolar a derivada
  2. d y d t = 8 t 3 y + c o s ⁡ ( t )

    Já temos, próximo passo!

  3. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f ∂ y .
  4. Aqui f t , y = 8 t 3 y + c o s ⁡ ( t )

    E a derivada parcial em relação à y:

    ∂ f ∂ y = 8 t 3

    Ok?! Próximo passo!

    Passo 3

  5. Verificar onde as funções calculadas no passo 2 são contínuas
  6. As funções são:

    f t , y = 8 t 3 y + c o s ⁡ ( t )

    ∂ f ∂ y = 8 t 3

    Todos os polinômios (tanto em t quanto em y) e o cosseno são funções contínuas para todos os reais, ou seja, não existe valor de t ou y que eu coloque ali nessas funções que vá dar alguma indeterminação, tipo raiz de incide par de número negativo, divisão por zero, essas coisas...

    Então elas são contínuas em todo R , que é o maior conjunto que podemos ter.

    Próximo passo!

    Passo 4

  7. Escolher um intervalo para t e outro para y onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.

Como as funções são continuas em qualquer intervalo, vamos escolher um intervalo perto dos pontos da condição inicial.

A condição inicial é:

y 0 = 5

Então precisamos que o intervalo de t contenha 0 e que o intervalo de y contenha o 5 . Então uma possibilidade é:

- 2 < t < 2

- 10 < y < 1 0

Lembrando que esses intervalos são abertos (vamos usar < o u > apenas, e não ≤ o u ≥ ) e os intervalos não precisam ser iguais. Podem ser iguais, mas não precisam. E essa região precisa ser retangular, ou seja, ela precisa ir de número até número.

Então chegamos ao ponto 4 satisfazendo todas as etapas anteriores! Nenhum dos passos falhou!

Pronto, sabemos que esse PVI possui solução e mais, sabemos que essa solução é única!

Logo a afirmativa está incorreta! Precisávamos que algum dos passos falhasse, o que não aconteceu. Portanto a afirmativa é falsa.

Resposta

f a l s a

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