Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp43-11

Determine, por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial dado.

y ' = 3 y 2 3   ,   y 0 = 0

Passo 1

Pelo que o enunciado nos diz, ele quer que resolvamos essa EDO achando uma solução condizente mas sem utilizar um método de resolução. Vamos botar a mão na massa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos relembrar uns conhecimentos úteis de derivada. Nós já sabemos que a derivada de uma constante é zero, como ele quer que y 0 = 0 parece justo tentarmos a solução y = 0 . Vamos testar.

y ' = 0

3.0 2 3 = 0

Só alegria. Provamos que y = 0 é solução.

Passo 3

Vamos caçar outra solução agora. Fuçando nos nossos conhecimentos de derivada podemos lembrar que a derivada de uma função y = b x a é y ' = b a x a - 1 . Isso parece muito interessante pro nosso problema. Vamos testar.

y ' = b a x a - 1 = 3 y 2 3

a - 1 = 2 3   ,           b a = 3

a = 5 3   ,         b = 9 5

Achamos então a solução y = 9 5 x 5 3 . Vamos testar se a condição inicial está batendo.

y 0 = 9 5 0 5 3 = 0  

Achamos nossa segunda solução

Resposta

y = 0   ,     y = 9 5 x 5 3  

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