Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

Ver Teoria

Enunciado

Um problema de valor inicial da forma y ' = f t , y ,   y 1 = 2 , sempre possui uma solução definida em qualquer intervalo contendo o ponto 1.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

O enunciado nos diz que um PVI na forma:

y ' = f t , y ,   y 1 = 2

Sempre possui uma solução definida em qualquer intervalo contendo o ponto 1.

Vamos verificar se isso é verdade?

Bom, quando falamos em ver se um PVI possui uma ou várias soluções, pensamos no Teorema da Existência e da Unicidade.

Esse teorema nos diz que, se forem satisfeitos todos os passos do teorema, esse PVI tem apenas uma solução. Então para ver se a afirmativa é verdadeira ou não, precisamos ver se o PVI dado satisfaz todas as condições dele.

Certo?

Passo 2

O teorema nos diz o seguinte. Para um PVI na forma:

d y d t = f t , y ,   y t 0 = y 0

Precisamos:

  1. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f / ∂ y
  2. Verificar onde as funções calculadas no passo 1 são contínuas
  3. Escolher um intervalo para t e outro para y onde as funções do passo 1 são contínuas e que contenham a condição inicial y t 0 = y 0

Se conseguir fazer os 3 passos, parabéns, temos que a solução existe e é única!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos seguir os passos.

  1. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f / ∂ y

No nosso problema temos:

d y d t = f t , y

Não conhecemos f t , y ,   e nem nada sobre ela! Não sabemos se ela é contínua, em que intervalo ela é contínua, se é em todos os reais, se tem algum ponto de indeterminação...

E se não temos f ( t , y ) , então não conseguimos achar a derivada! Então assim, já começamos falhando um ponto!

Vamos supor que temos a função e que conseguimos calcular a derivada, certo?

Passo 4

O próximo passo é identificar um intervalo que as funções sejam contínuas e que contenha o ponto inicial. Se esse intervalo existir, esse ponto do teorema será satisfeito.

Mas nesse caso, não temos como garantir que esse intervalo existe e que seja onde as funções são contínuas, porque não sabemos a cara dela!

Sendo assim, a afirmativa é falsa.

Resposta

f a l s a

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. t t - 4 y ' + y = 0 , y 2 = 1
21 . Considere o problema de valor inicial y '=y 1 / 3 ,y ( 0 )=0 do Exemplo 3 no texto.(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(b) Existe uma solução que cont
23 . (a) Mostre que ϕ ( t )=e 2 t é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = cϕ(t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de y '+y 2 = 0
22. (a) Verifique se ambas as funçõesy 1 ( t )=1–t y 2 ( t )=– t 2 / 4 são soluções do problema de valor inicial y ' = - t + t 2 + 4 y2 y 2 =- 1 Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a
22. (a) Verifique se ambas as funçõesy 1 ( t )=1–t y 2 ( t )=– t 2 / 4 são soluções do problema de valor inicial y ' = - t + t 2 + 4 y2 y 2 =- 1 Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a