Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

Verifique se existe solução e se ela é única para o seguinte problema

d y d x = 2 x ( 1 + y ) y 0 = 0

Passo 1

A primeira coisa a se fazer sempre é escrever a equação isolando a derivada. No caso, o enunciado já forneceu a equação nesse formato.

d y d x = f x , y

d y d x = 2 x ( 1 + y )

Passo 2

A nossa f ( x , y ) é:

f x , y = 2 x ( 1 + y )

E a derivada com respeito a y é:

∂ f ∂ y = ∂ 2 x 1 + y ∂ y = 2 x

Passo 3

Nesse passo, devemos determinar onde as funções anteriores são contínuas.

Tanto f ( x , y ) como sua derivada com relação a y são polinômios, logo são contínuas em todos os reais.

Passo 4

Como as funções são contínuas para todos os reais, podemos escolher qualquer intervalo que contenha a condição inicial

x 0 = 0 ,   y 0 = 0

Só para ilustrar, podemos escolher

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Portanto, existe solução e ela é única em algum intervalo que contenha x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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