Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

Nem sempre um problema de valor inicial da forma y ' = f t , y ,   y 0 = 7 possui solução.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se possui solução.

Antes de fazer qualquer análise, precisamos ter a derivada isolada de um lado e jogar tudo para o outro lado, dessa forma aqui:

d y d t = f ( t , y )

E é exatamente nessa forma que temos!

O problema nos diz que:

y ' = f ( t , y )

E como y ' = d y / d t , tá tudo ok! Podemos seguir.

Bom, precisamos lembrar o que nos diz o teorema da Existência e da Unicidade:

Se algumas dessas condições não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, ter uma ou várias soluções.

Passo 2

No nosso caso temos:

d y d t = f ( t , y )

Não sabemos a cara dessa f ( t , y ) , então não podemos calcular ∂ f ∂ y . Então o passo 2 está prejudicado.

Com isso, não conseguimos ver se essas funções são contínuas e nem onde elas são. E se esse intervalo contém o ponto dado.

Xiiii

Sendo assim, não temos como garantir a existência e a unicidade da solução desse problema!

Passo 3

Ferrou? Não necessariamente...

O problema nos diz que esse PVI nem sempre tem solução. O que é verdade, já que não sabemos a cara da função f ( t , y ) e assim o domínio, comportamento dela etc...

E como não sabemos, esse PVI pode ou não ter solução, e caso tenha, essa solução nem precisa ser única!

Sendo assim nossa resposta é verdadeiro. Nem sempre o problema de valor inicial tem solução.

Resposta

v e r d a d e i r o

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