Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 9

Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I , I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.

9 .     x y ' + y = 3   ,     y 0 = 1

Passo 1

Antes de começar a analisar qualquer coisa, devemos escrever nossa EDO assim:

y ' = f x , y

Então façamos isso.

y ' = 3 - y x

Bom, agora temos que ver se f ( x , y ) e f y são contínuas e em qual intervalo isso acontece.

f y = - 1 x

Ambas as funções são definidas no conjunto aberto U = { ( x , y ) R 2 ; x 0 } . Neste caso, garantimos que não existe nenhuma função pois se existisse, o ponto ( 0,1 ) que dá a condição inicial deveria estar no domínio U de f ( x , y ) , mas ( 0,1 ) U .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

9 .   Não existe nenhuma função, porque o ponto da condição inicial não está no conjunto aberto no qual a função y ' = f ( x , y ) está definida.

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