Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 10

Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I , I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.

10 .   y ' = y 2 / 3 ,     y 0 = 0

Passo 1

Antes de começar a analisar qualquer coisa, devemos escrever nossa EDO assim:

y ' = f x , y

Então façamos isso.

y ' = y 2 3

Bom, agora temos que ver se f ( x , y ) e f y são contínuas e em qual intervalo isso acontece.

f y = 2 3 y 3

A função f é contínua em U = R 2 e f y é definida no conjunto aberto A = { ( x , y ) R 2 ; y 0 } . O ponto inicial é 0,0 U , mas ( 0,0 ) A , logo não é possível aplicar o Teorema da Existência e Unicidade para garantir que existe uma única função y = y x ,   x I ,   I intervalo aberto contendo x = 0 e tal que y 0 = 0 . Observe que não foi dito que não existe tal função, só foi dito que não conseguimos garantir que existe.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

10 . Não podemos aplicar o Teorema da Existência e Unicidade, pois o ponto da condição inicial não pertence ao domínio de f y . Então não podemos garantir que existe uma única função que seja solução.

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