Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I , I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.

10 .   y ' = y 2 / 3 ,     y 0 = 0

Passo 1

Antes de começar a analisar qualquer coisa, devemos escrever nossa EDO assim:

y ' = f x , y

Então façamos isso.

y ' = y 2 3

Bom, agora temos que ver se f ( x , y ) e ∂ f ∂ y são contínuas e em qual intervalo isso acontece.

∂ f ∂ y = 2 3 y 3

A função f é contínua em U = R 2 e ∂ f ∂ y é definida no conjunto aberto A = { ( x , y ) ∈ R 2 ; y ≠ 0 } . O ponto inicial é 0,0 ∈ U , mas ( 0,0 ) ∉ A , logo não é possível aplicar o Teorema da Existência e Unicidade para garantir que existe uma única função y = y x ,   x ∈ I ,   I intervalo aberto contendo x = 0 e tal que y 0 = 0 . Observe que não foi dito que não existe tal função, só foi dito que não conseguimos garantir que existe.

Resposta

10 . Não podemos aplicar o Teorema da Existência e Unicidade, pois o ponto da condição inicial não pertence ao domínio de ∂ f ∂ y . Então não podemos garantir que existe uma única função que seja solução.

Exercícios de Livros Relacionados

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23 . (a) Mostre que ϕ ( t )=e 2 t é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = cϕ(t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de y '+y 2 = 0
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