Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 12

Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I , I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.

12 .   x y ' + 1 2 x + 3 y = ln x - 2   ,     c o m   c a d a   u m a   d a s   c o n d i ç õ e s   i n i c i a i s :

a   y - 3 = 0                             c   y 1 = 7

b   y - 1 = 5                           d   y 3 = 0

Passo 1

Antes de começar a analisar qualquer coisa, devemos escrever nossa EDO assim:

y ' = f x , y

Então façamos isso.

y ' = 1 x ln x - 2 - 1 x 2 x + 3 y

Bom, agora temos que ver se f ( x , y ) e f y são contínuas e em qual intervalo isso acontece.

f y = - 1 x 2 x + 3

A funções f e f y são contínuas no conjunto aberto U = x , y R 2 ; x 0 , x - 3 2 , x 2 , por conta do domínio dessas funções. O Teorema da Existência e Unicidade garante a existência de uma única função nos quatro casos a seguir, a saber:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( a )

Nesse caso, o ponto da condição inicial é ( - 3,0 ) e perceba que esse ponto pertence ao conjunto U . Então podemos garantir que existe um único y = y ( x ) , x I = - , - 3 2 .

Passo 3

( b )

Nesse caso, o ponto da condição inicial é ( - 1 , 5 ) e perceba que esse ponto pertence ao conjunto U . Então podemos garantir que existe um único y = y ( x ) , x I = - 3 2 , 0 .

Passo 4

( c )

Nesse caso, o ponto da condição inicial é ( 1 , 7 ) e perceba que esse ponto pertence ao conjunto U . Então podemos garantir que existe um único y = y ( x ) , x I = 0,2 .

Passo 5

( d )

Nesse caso, o ponto da condição inicial é ( 3 , 0 ) e perceba que esse ponto pertence ao conjunto U . Então podemos garantir que existe um único y = y ( x ) , x I = 2 , .

Resposta

( a ) o ponto ( - 3,0 ) U , existe uma única y = y ( x ) , tal que x I = - , - 3 2 .

( b ) o ponto ( - 1 , 5 ) U , existe uma única y = y ( x ) , tal que x I = - 3 2 , 0 .

( c ) o ponto ( 1,7 ) U , existe uma única y = y ( x ) , tal que x I = 0,2 .

( d ) o ponto ( 3,0 ) U , existe uma única y = y ( x ) , tal que x I = 2 , .

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