Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

USP, Cálculo 4, P3 - 2018, Questão 3

Teste 3: Considere a EDO

y ' = x + x 3 y 2

Com x 0 , e sobre ela considere as afirmações:

  1. A função constante e igual a 0 em x 0 é uma solução não crescente para a EDO.
  2. A EDO certamente possui alguma solução que é estritamente crescente em todo seu domínio.
  3. Os gráficos de soluções da EDO não podem se cruzar no ponto x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 .

São verdadeiras:

  1. Apenas I I I .
  2. Apenas I I .
  3. Todas.
  4. Apenas I e I I I .
  5. Apenas I I e I I I .

Passo 1

Vamos começar verificando o item 1 .

Ora, se y = 0 satisfizer a EDO...

y ' = x + x 3 y 2

Então ela será de fato uma solução. Mas no caso isso só é verdade se...

0 = x + x 3 0 2    

x = 0

Então não, não é uma solução.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Poxa, qual é a condição para uma função y x ser estritamente crescente no domínio x ? SIM! A derivada y ' x tem que ser sempre maior que 0 . No nosso caso:

y ' = x + x 3 y 2

Para x 0 (domínio dessa EDO), temos que a raiz é positiva, o x 3 também e o y 2 também! Então sim! Existe soluções a qual sã inteiramente crescentes!

Passo 3

A família de soluções dessa EDO é da forma:

y x = f x + C

Onde C R e é uma constante que depende da condição inicial:

y x = f x + C C o n d i ç ã o   i n i c i a l

Podemos parametrizar a solução assim:

x ,   f x + C C o n d i ç ã o   i n i c i a l

Se todas as EDO se cruzam no 0 ,   0 , então...

f 0 + C C o n d i ç ã o   i n i c i a l = 0  

f 0 = - C C o n d i ç ã o   i n i c i a l

Como f x nunca muda, f 0 também não! Como C é uma função que depende da condição inicial, ela não pode ser uma constante igual a f 0 , logo realmente as famílias de EDO não podem passar pelo 0 ,   0 .

Resposta

E )   A p e n a s   I I   e   I I I

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