Exercícios Resolvidos de Filtros Polarizadores

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-39

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores.

Em relação à direção de polarização da luz incidente as direções de polarização dos filtros são θ para o primeiro filtro e 90 ° para o segundo.

Se 10 % da intensidade incidente são transmitidos pelo conjunto, quanto vale θ ?

Passo 1

Vamos fingir que conhecemos o ângulo θ e calcular a intensidade transmitida pelo conjunto.

Ao passar no primeiro polarizador, a intensidade fica

I 1 = I 0 cos 2 ⁡ θ

Como o segundo faz 90 ° com a direção de polarização inicial, seu ângulo com o eixo do primeiro polarizador é α = 90 ° - θ

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( 90 ° - θ ) = I 0 cos 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( 90 ° - θ )  

Pelo que enunciado nos diz, essa intensidade vai ser 10 % da inicial:

I 2 = 0,1   I 0

Juntando as duas equações:

0,1 = cos 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( 90 ° - θ )

Agora, para achar o ângulo θ , precisamos resolver essa equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Inicialmente podemos tentar rearranjar o lado direito da equação. Tem uma relação trigonométrica que nos diz o seguinte:

cos ⁡ 90 ° - θ = sen ⁡ ( θ )

Substituindo:

0,1 = cos 2 ⁡ ( θ ) sen 2 ⁡ ( θ )

Daqui, tem diferentes maneiras de prosseguir pra resolver essa equação, e você pode escolher a que mais se adequar ao seu jeito.

Mas eu vou tentar seguir o caminho que me dê menos trabalho.

Para isso, vou usar mais uma relação trigonométrica:

sen ⁡ 2 θ = sen ⁡ θ + θ = sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) + sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) = 2 sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ )

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ )

E podemos reescrever a equação acima.

0,1 = sen ⁡ 2 θ 2 2 = sen 2 ⁡ 2 θ 4

E agora resolver:

sen ⁡ ( 2 θ ) = 2 10 ≅ 0,632

Um dos valores para o qual vale essa equação é

2 θ ≅ 39,23 °

θ = 19,615 °

Porém, esse não é o único valor possível, pois tem outra relação trigonométrica que diz que

sen ⁡ ( 180 ° - α ) = sen ⁡ ( α )

Isso significa que obteríamos o mesmo valor para

2 θ = 180 ° - 39,23 ° = 140,77 °

θ = 70,385 °

Resposta

O ângulo θ pode valer 19,615 ° ou 70,385 ° .

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