Exercícios Resolvidos de Filtros Polarizadores

Uma radiação eletromagnética não polarizada se propaga no vácuo, com o módulo do seu vetor campo elétrico sendo dado por E = E 0 sen ⁡ k y - ω t .

Ela incide perpendicularmente sobre um conjunto de duas placas polarizadoras: a primeira placa P 1 tem a sua direção de polarização fazendo um ângulo θ 1 = 30 ° com a direção positiva do eixo OZ, enquanto que na segunda placa P 2 , o mesmo ângulo é θ 2 = 90 ° .

A radiação transmitida através do conjunto de placas incide, então, perpendicularmente sobre uma superfície S , que absorve 20 % da intensidade, refletindo o restante.

Sabendo que a amplitude inicial do campo elétrico da onda eletromagnética é E 0 = 120 π   V / m , determine:

  1. a intensidade I T da onda incidente na superfície S ;
  2. o módulo da força F exercida pela radiação sobre a superfície S , considerando que a radiação ilumina uma área A = 2 c m 2 de S ;
  3. as componentes E x , E y , e E z , do vetor campo elétrico E da radiação eletromagnética que incide sobre S , após atravessar o conjunto de placas polarizadoras;
  4. o vetor campo magnético B da onda eletromagnética do ítem c acima.

Passo 1

a ) a intensidade I T da onda incidente na superfície S ;

A intensidade de uma onda eletromagnética é a média do vetor de Poynting. Como o campo elétrico é senoidal, o campo magnético também vai ser, e a intensidade fica:

I = 1 2 E m á x B m á x μ 0

Além disso, temos E = c B , e logo:

I = E máx 2 2 μ 0 c

Mas no caso, E m á x = E 0 e assim

I = E 0 2 2 μ 0 c

Quando a luz não polarizada passa por um polarizador, sua intensidade se reduz pela metade. Com isso:

I 1 = I 2

E ela sai polarizada com o ângulo do eixo do polarizador, 30 ° com o sentido positivo do eixo O Z . Assim, ao passar pelo segundo polarizador, ela faz um ângulo com seu eixo de:

θ = 90 ° - 30 ° = 60 °

E a intensidade da luz que sai do segundo polarizador vai ser

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ θ = I 1 ∙ cos 2 ⁡ 60 = I 1 1 2 2 = I 2 × 1 4

I 2 = I 8

Essa luz depois incide na superfície S , sendo sua intensidade igual a:

I T = 1 8 ∙ E 0 2 2 μ 0 c

Pelo enunciado, sabemos que E 0 = 120 π   V / m , e além disso as constantes são:

  • c = 3 ∙ 10 8   m / s
  • μ 0 = 4 π ∙ 10 - 7   N / A 2

Substituindo ficamos com:

I T = 1 8 ∙ 120 2 ∙ π 2 2 ∙ 4 π ∙ 10 - 7 ∙ 3 ∙ 10 8

I T = 7,5 π   W / m 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Primeiro, vamos lembrar que para calcularmos a pressão que a radiação causa em uma superfície nós fazemos um balanço do momento linear total da luz.

Neste caso, o momento linear da luz incidente seria:

γ i n i c i a l = Δ U c

Onde Δ U é a energia que a luz carrega. A intensidade sendo o fluxo médio de energia, se 80 % da intensidade é refletida e 20 % é absorvida, então podemos traduzir isso pra energia e no momento linear final teremos:

γ f i n a l = - 0,8 Δ U c + 0

Onde o zero corresponde a parcela absorvida. A variação do momento linear da luz vai ser:

Δ γ l u z = - 0,8 Δ U c - Δ U c = - 1,8 Δ U c

Como a luz e a superfície são um sistema fechado temos que a variação de momento sobre a superfície é dada por

Δ γ l u z + Δ γ s u p = 0 → Δ γ s u p = - Δ γ l u z

Δ γ s u p = 1,8 Δ U c

A variação do momento linear dividida pelo tempo é a força, e quando dividimos isso pela área, temos a pressão da radiação.

p = Δ γ A Δ t = 1,8   Δ U c A Δ t  

Sendo a intensidade a energia por unidade de área por unidade de tempo:

I = Δ U A Δ t

Ficamos com:

p = 1,8 I T c = 1,8 ∙ 7,5 π 3 ∙ 10 8

p = 4,5 π ∙ 10 - 8   P a

A força vai ser então a pressão vezes a área incidente, que pelo enunciado é A = 2 c m 2 = 2 ∙ 10 - 4   m 2

F = p ∙ A = 4,5 π ∙ 10 - 8 ∙ 2 ∙ 10 - 4

F = 9 π ∙ 10 - 12   N

Passo 3

Letra c)

Após atravessar todos os polarizadores, a luz fica polarizada de acordo com o eixo de polarização do último polarizador.

Como o último polarizador faz 90 ° com o sentido positivo do eixo z , então ela não tem nenhuma componente nesse eixo, e E z = 0 .

Pela fórmula do módulo do campo elétrico:

E = E 0 ' sen ⁡ k y - ω t

Vemos que a onda se propagava ao longo do eixo y , pois é ele que está no argumento. Assim, a medida que o tempo aumenta, para seguirmos a mesma frente de onda, o valor de y tem de aumentar, e por isso sabemos que a onda se propaga ao longo do sentido positivo do eixo y .

Ps: Lembrando lá da teoria que c o s ⁡ ( k y - ω t ) se propaga no sentido positivo de y e c o s ⁡ ( k y + ω t ) se propaga no sentido negativo de y !

Então o sistema está todo ao longo do mesmo eixo, e a luz também não tem nenhum componente ao longo desse eixo, E y = 0 .

Por fim, o campo elétrico passa a ser polarizado apenas ao longo do eixo x .

E x = E 0 ' sen ⁡ k y - ω t

A intensidade ao passar pelo último polarizador se relaciona com o módulo do campo elétrico por

I T = E ' 2 2 μ 0 c

Antes de passar pelo polarizador

I = E 0 2 2 μ 0 c

Como já vimos que

I T = I 8 → E ' 2 2 μ 0 c = 1 8 E 0 2 2 μ 0 c

E ' = E 0 2 2 = 120 π 2 2 = 30 2 π   V / m

Assim

E x = 30 2 π sen ⁡ k y - ω t

Passo 4

Letra d)

A onda se propaga ao longo do eixo y , sendo que o campo elétrico vibra ao longo do eixo x . Como o campo magnético é perpendicular ao campo elétrico, então ele tem que vibrar ao longo do eixo z .

Além disso, avaliando o módulo dos vetores campo elétrico e campo magnético, temos:

E = c B

Em termos da amplitude:

B 0 = 1 c E 0 = 30 2 π 3 ∙ 10 8 = 2 π ∙ 10 - 7   T

Pra que dê tudo certo é necessário que E → e B → obedeçam

E ^ × B ^ = k ^

Como E ^ = x ^ e k ^ = y ^ , temos

x ^ × B ^ = y ^

O único cara que pode entrar aí é - z ^ , pois

x ^ × - z ^ = x y z 1 0 0 0 0 - 1 = y ^

Logo, o campo magnético fica:

B → = - 2 π ∙ 10 - 7 ∙ sen ⁡ k y - ω t   z ^

Resposta

Letra a)

I T = 7,5 π   W / m 2

Letra b)

F = 9 π ∙ 10 - 12   N

Letra c)

E z = 0

E y = 0

E x = 30 2 π sen ⁡ k y - ω t

Letra d)

B → = - 2 π ∙ 10 - 7 ∙ sen ⁡ k y - ω t   z ^

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