Exercícios Resolvidos de Filtros Polarizadores

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-43

Queremos fazer a direção de polarização de um feixe de luz polarizada girar de 90 ° fazendo o feixe passar por um ou mais filtros polarizadores.

  1. Qual é o número mínimo de filtros necessário?
  2. Qual é o número mínimo de filtros necessário se a intensidade da luz transmitida deve ser mais de 60 % da intensidade original?

Passo 1

Letra a)

Se tentássemos colocar um polarizador com eixo perpendicular à direção de polarização da luz nós não teríamos luz transmitida.

Porém, se colocássemos um segundo polarizador entre a luz e o filtro inicial de forma que ele fizesse um ângulo 0 < θ < 90 ° com a direção de polarização da luz, as ondas que sairiam dele não seriam perpendiculares ao eixo do segundo polarizador, e assim nós conseguimos girar o feixe de luz em 90 ° com apenas 2 polarizadores.

O número mínimo de filtros necessário é dois.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Sabemos que a intensidade da luz que sai de um sistema composto por vários polarizadores depende do ângulo entre cada par de polarizadores consecutivos.

Se o ângulo entre esse par de filtros for θ , a intensidade da luz que sai do segundo polarizador vai ser dada pela lei de Malus.

I = I 0 cos 2 ⁡ ( θ )

Assim, quanto maior o nosso ângulo θ , menor a intensidade transmitida. Isso significa que não poderemos usar ângulos muito grandes entre eles.

Passo 3

Vamos considerar que o ângulo entre quaisquer dois polarizadores consecutivos é igual, e que temos N polarizadores. Para girarmos 90 ° , precisamos ter, em média:

θ = 90 ° N

Quando a luz passar pelo primeiro polarizador, a intensidade emergente vai ser:

I 1 = I 0 cos 2 ⁡ ( θ )

Quando ela passar pelo segundo:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( θ ) = I 0 cos 2 ⁡ θ 2

Pelo terceiro:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ ( θ ) = I 0 cos 2 ⁡ θ 3

E por aí vai, até que ao passar pelo sistema todo, teremos:

I N = I N - 1 cos 2 ⁡ ( θ ) = I N - 2 cos 2 ⁡ θ 2 = I N - 3 cos 2 ⁡ θ 3 = … = I 0 cos 2 ⁡ θ N

I N = I 0 cos 2 N ⁡ 90 ° N

Mas o enunciado pede que:

I = I N = 0,6   I 0

Ou seja, precisamos achar o valor de N para o qual:

0,6 = cos 2 N ⁡ 90 ° N

Acontece que isso não é nem de longe uma equação fácil de resolver.

Passo 4

Embora a nossa equação não seja fácil de resolver, nós podemos forçar a barra.

Como N é o número de polarizadores, ele só pode ser um número natural 1 ,   2 ,   3 ,   …

Então, vamos testar a fórmula com vários valores de N e ver quando que chegamos lá. Se dermos sorte, o N que procuramos não vai ser um valor muito grande tipo 23 ou algo assim.

N = 1 → cos 2 ⁡ 90 ° = 0

N = 2 → cos 4 ⁡ 45 ° = 2 2 4 = 4 16 = 1 4 = 0,25

N = 3 → cos 6 ⁡ 30 ° = 3 2 6 = 27 64 ≅ 0,422

N = 4 → cos 8 ⁡ 22,5 ° ≅ 0,924 8 ≅ 0,531

N = 5 → cos 10 ⁡ 18 ° ≅ 0,951 10 ≅ 0,605

Por sorte, o nosso valor então é N = 5 !

(Não foi sorte, eu já sabia que ia ser 5 , mas porque eu fiz antes de explicar aqui como faz. Mas a primeira vez que a gente faz é na sorte mesmo)

Se usássemos ângulos que variassem, embora as contas fossem mudar um pouco, nosso resultado não iria.

Isso é porque caso colocássemos um polarizador com ângulo muito pequeno, pra perder pouca intensidade, até chegarmos a 90 ° , o próximo teria que ser muito grande e perderia muita intensidade, e vice versa.

Por isso no fim nós recairíamos em 5 polarizadores de qualquer forma. Você pode pensar em cos 2 ⁡ 90 ° N como sendo o “valor médio” da fração de intensidade transmitida. Se um polarizador transmitir mais que isso, o próximo vai ter que transmitir menos (para a luz girar 90 ° com o mínimo de polarizadores possível).

O máximo que, talvez, poderíamos conseguir é atingir um valor ainda mais próximo de 0,6 .

Resposta

Letra a)

O mínimo de filtros necessários para a polarização da luz girar 90 ° são 2 filtros.

Letra b)

O mínimo de filtros necessários para a polarização da luz girar 90 ° com 60 % da intensidade inicial são 5 filtros.

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