Exercícios Resolvidos de Indução eletrostática

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Enunciado

Considere que você queira construir um circuito L C para oscilar na frequência de 440   H z e você tem um indutor de 2 H ( a ) Qual o valor da capacitância você deverá usar? b ) Se o capacitor é inicialmente carregado até 5 V qual a carga de pico (máxima) no capacitor? c ) Qual é a energia total no circuito?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nos deram um indutor com indutância

L = 2 H

e, queremos que montemos um circuito L C com frequência de oscilação f = 440   H z . A pergunta é! ( a ) Qual o valor da capacitância você deverá usar? b ) Se o capacitor é inicialmente carregado até 5 V qual a carga de pico (máxima) no capacitor? c ) Qual é a energia total no circuito? Para responder essas alternativas vamos lembrar que o circuito LC oscilatório é um MHS, portanto as relações são bastantes similares ao caso do massa-mola! Saca só!

Passo 2

A equação diferencial para o oscilador harmônico do circuito LC é tal que

d 2 q d t 2 + ω 0 2 q ( t ) = 0

em que

ω 0 2 = 1 L C

usando que

ω 0 = 2 π f

temos que a frequência se relaciona com a indutância e capacitância pela relação

f = 1 2 π L C

ou seja, a capacitância necessária é tal que

C = 1 4 π 2 f 2 L

Substituindo os valores do enunciado, temos que

C = 6,5 × 1 0 - 8 F = 6,5 × 1 0 - 2 μ   F

Ótimo! A primeira alternativa já foi! Agora, vamos tentar relacionar essa capacitância com as outras grandezas que estamos procurando!

Passo 3

Note que um MHS como o construído aqui tem solução da forma

q ( t ) = q 0 c o s ( ω 0 t + ϕ )

A carga de pico é q 0 , e uma vez que o capacitor é carregado por uma tensão de 5,0   V podemos relacionar a carga de pico e a capacitância através da relação

q 0 = C V 0 = ( 6,5 × 1 0 - 2 μ   F ) ( 5,0   V ) = 0,33   μ   C

Agora, qual a energia total do circuito? Saca só!

Passo 4

Da mesma forma que no sistema massa-mola a energia armazenada no oscilador está relacionada a amplitude do sistema, neste caso q 0 . Usando que a energia armazenada em um capacitor é tal que

E = q 2 2 C

temos que a conservação de energia nos garante que a energia em nosso circuito é

E = ( 0,33 μ   C ) 2 2   ( 6,5 × 1 0 - 2   μ F ) = 8,4 × 1 0 - 7 J

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) 6,5 × 1 0 - 2 μ   F , ( b ) 0,33   μ   C   e ( c )   8,4 × 1 0 - 7 J

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