Exercícios Resolvidos de Indução eletrostática

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Enunciado

Temos um condutor oco, com carga Q, em equilíbrio eletrostático, conforme mostra a figura.

Com uma pequena esfera condutora, também de carga Q, considere as quatro seguintes situações:

(I) a esfera é colocada dentro da cavidade oca, sem tocar a superfície interna   S i . (II) a esfera é colocada dentro da cavidade, em contato com a superfície interna S i . (III) a esfera é colocada em contato com a superfície externa S e do condutor oco. (IV) a esfera é colocada na vizinhança (externa) do condutor oco, sem tocar nele.

Após atingido o equilíbrio eletrostático e referindo-se às cargas nas superfície interna e

externa do condutor oco como Q i e Q e , respectivamente, qual das alternativas corresponde

às quatro situações descritas anteriormente?

(a) I: Q i =   - Q   Q e = 2 Q ; II:   Q i =   2 Q   Q e = 0 ; III: Q i =   0   Q e = 2 Q ; IV:   Q i =   2 Q   Q e = - Q

(b) I: Q i =   0   Q e = Q ; II:   Q i = Q   Q e = Q ; III: Q i =   Q   Q e = Q ;IV:   Q i =   0   Q e = Q

(c) I: Q i =   - Q   Q e = 2 Q ; II:   Q i =   0   Q e = 2 Q ; III: Q i =   0   Q e = 2 Q ; IV:   Q i =   0 Q e = Q

(d) I: Q i =   Q   Q e = 0 ; II:   Q i = 0   Q e = 2 Q ; III: Q i =   0   Q e = 2 Q ; IV:   Q i =   Q   ; Q e = 0

(e) I: Q i =   - Q   Q e = 2 Q ; II:   Q i = Q   Q e = Q ; III: Q i =   0   Q e = 2 Q ; IV:   Q i =   0   Q e = Q

Passo 1

Bom, vamos por partes e analisar o que vai acontecer em cada caso para as cargas da superfície interna e externa.

q sup ⁡   i n t   q sup ⁡ e x t

Lembrando que condutores só possuem cargas nas superfícies e por isso analisaremos apenas a superfície interna e externa e não a parte oca em si.

Após isso vamos comparar com as respostas e ver qual delas está coerente com o que constatarmos.

Passo 2

Começaremos pelo item (I) quando a esfera é colocada na parte oca sem tocar a superfície interna S i :

Se a pequena esfera no interior da cavidade tem carga Q, ela irá atrair cargas de sinal oposto para a superfície interna do condutor. Portanto q sup ⁡   i n t =   - Q .

Mas se o condutor esta carregado com uma carga Q, precisamos compensar essa carga da superfície interna com uma carga 2Q na superfície externa:

q c o n d =   q sup ⁡   i n t +   q sup ⁡ e x t

Q =   - Q +   q sup ⁡ e x t

2 Q =   q sup ⁡ e x t

Entao...

q sup ⁡   i n t =   - Q  

q sup ⁡ e x t = 2 Q

Passo 3

Pro item (II) a esfera é colocada dentro da cavidade, em contato com a superfície interna S i .

Se a pequena esfera é colocada dentro da cavidade e em contato com o condutor, toda a carga da pequena esfera irá para o condutor e ficará na superfície externa deste. Lembra? Em um condutor em equilíbrio eletrostático as cargas se distribuem na superfície (externa).

Pensa da seguinte maneira, as cargas de mesmo sinal tendem a se repelir certo? Entao elas vao se colocar na posição em q cada uma esteja o mais afastada da outra, ou seja, na superfície. Entendeu? =)

Então...

q sup ⁡   i n t =   0

q sup ⁡ e x t = Q + Q =   2 Q

Passo 4

No item (III): a esfera é colocada em contato com a superfície externa S e do condutor oco.

Esse ítem é um pouquinho mais complicado, vamos precisar usar uma formula que aparece quando dois condutores de tamanhos diferentes são unidos.

Assim como no ítem anterior, não haverá carga na superfície interna do condutor.

Com relação a carga na superfície externa precisamos avaliar:

Lembra daquela formula da teoria Q ' R =   q ' r ?

Vamos aplicar ele no problema:

Q c o n d R c o n d =   Q p e q u e n a   e s f e r a R p e q u e n a   e s f e r a

Como o enunciado diz que a esfera é pequena, podemos supor que R p e q u e n a   e s f e r a ≪ R c o n d e rearranjando a equação acima temos:

R p e q u e n a   e s f e r a R c o n d → 0

E portanto

  Q p e q u e n a   e s f e r a Q c o n d → 0

Ou seja, tem muito mais carga no condutor que na esfera pequena e podemos considerar que toda carga estará na superfície externa do condutor.

Então...

q sup ⁡   i n t =   0

q sup ⁡ e x t = Q + Q =   2 Q

Passo 5

No ítem (IV): a esfera é colocada na vizinhança (externa) do condutor oco, sem tocar nele.

Assim como nos dois ítens anteriores, não haverá carga na superfície interna do condutor.

Com relação a carga na superfície externa, podemos perceber que a carga do condutor continuará a ser Q e a da pequena esfera também continuará a ser Q. A única coisa que irá ocorrer é que as cargas das duas vão se repelir, se localizando com maior densidade na extremidade oposta à que está mais próxima uma da outra.

Então:

q sup ⁡   i n t =   0

q sup ⁡ e x t = Q

Podemos verificar que a resposta é a letra (c)

Resposta

(c) I: Q i =   - Q   Q e = 2 Q

II:   Q i =   0   Q e = 2 Q

III: Q i =   0   Q e = 2 Q

IV:   Q i =   0 Q e = Q

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