Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Classifique as afirmativas abaixo onde A é uma matriz tal que D i m N A < D i m ( N A T ) :

I A não pode ser injetiva.

I I A não pode ser sobrejetiva.

a) Ambas são falsas.

b) I é verdadeira e I I é falsa.

c) Ambas são verdadeiras.

d) I é falsa e I I é verdadeira.

e) Não sei.

Passo 1

O enunciado nos diz que D i m N A < D i m ( N A T ) , isso é, a dimensão de N ( A ) é menor do que a dimensão do N aplicado na sua transposta. Isso quer dizer que a matriz transposta de A possui mais linhas, e consequentemente, A possui mais colunas.

Então vamos analisar as afirmativas beleza?

Passo 2

Analisando as afirmativas:

I – Falsa!! Nada impede ela de ser injetiva porque olha, pra ela ser injetiva basta que a dimensão do núcleo seja 0, e isso não é necessariamente falso pra esse caso :D

I I – Verdadeira!! Para ser sobrejetiva, a dimensão da imagem deve ser igual à do contradomínio, o que não é o caso, já que vimos que A tem um número diferente de linhas e colunas ;)

Entãoo, a alternativa correta é a letra D de dado :P

Resposta

d) I é falsa e I I é verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .