Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

10) Sejam a , b ∈ R e T : R 3 → P 2 ( R ) a transformação linear tal que:

T 1,00 = 1 + 3 t + t 2 ,                   T 1,2 , 0 = 1 + t + 3 t 2 ,                 T 1,2 , 3 = 1 + a t + b t 2 .

Temos que T será injetora se, e somente se:

a) a - b = 2 ;

b) a - b ≠ 2 ;

c) a + b ≠ 4 ;

d) a + b = 4 ;

e) a ≠ b .

Passo 1

Faala galerinha, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão, pra surpresa de um total de 0 pessoas hahaha, temos novamente uma transformação linear T , agora com domínio em R 3 e contradomínio em P 2 ( R ) . Não é dada a definição da transformação, mas é dito que:

T 1,00 = 1 + 3 t + t 2   T 1,2 , 0 = 1 + t + 3 t 2 T 1,2 , 3 = 1 + a t + b t 2

A pergunta é sobre a condição entre a e b para que T seja injetora.

Puts, esse caso é complicado porque não temos a definição da transformação linear T e sem essa definição fica mais difícil descobrir se T é injetora ou não.

Mas, com as informações dadas, será que tem algum jeito de a descobrirmos?

Poderíamos pensar em montar a matriz T B , assim conseguiríamos definir a transformação. Mas, para isso precisamos ter uma base:

B = b → 1 , b → 2 ,   b → 3

Que a gente conheça os valores de T ( b → 1 ), T b → 2 ,   T ( b → 3 ) . Tendo isso, a matriz que representa a transformação será dada por:

T B = | | | T ( b → 1 ) T ( b → 2 ) T ( b → 3 ) | | |

Massa!

Passo 2

Continuando o raciocínio, só conhecemos os valores da transformação linear para 3 vetores. Se eles formarem uma base do R 3 , podemos montar a matriz T B . Vamos verificar isso!

Temos:

b → 1 = ( 1,0 , 0 ) b → 2 = 1,2 , 0 b → 3 = ( 1,2 , 3 )

Pra que esses vetores formem uma base, eles precisam ser L . I e também gerar todo o R 3 .

De fato, eles geram todo o R 3 (pois conseguem gerar cada vetor da base canônica, por exemplo). Pra verificar se eles são L . I basta fazer:

x 1,0 , 0 + y 1,2 , 0 + z 1,2 , 3 = ( 0,0 , 0 )

Se tivermos a única solução x = y = z = 0 , então eles são L . I . Montando o sistema, vamos ter que:

x + y + z = 0 2 y + 2 z = 0 3 z = 0

Começando da última equação, temos z = 0 . Substituindo na penúltima temos y = 0 . E, por último, substituindo na primeira, temos também x = 0 . Portanto, esses vetores de fato formam uma base.

Logo, como:

T 1,00 = 1 + 3 t + t 2   T 1,2 , 0 = 1 + t + 3 t 2 T 1,2 , 3 = 1 + a t + b t 2

E, além disso:

T B = | | | T ( b → 1 ) T ( b → 2 ) T ( b → 3 ) | | |

Podemos escrever:

T B = 1 1 1 3 t 1 t a t 1 t 2 3 t 2 b t 2

Boaaa, é isso aí pessoal! Agora já conseguimos definir T através de T B .

Passo 3

Beleza! Lembra que queremos calcular as condições de a e b para T ser injetora, certo? Mas, quando que uma T L é dita injetora?

Essa todo mundo já tá ligado né haha, basta que:

dim ⁡ K e r T = 0

Ok! Bora supor um vetor genérico do R 3 :

v → = ( c , d , e )

Logo:

T v → = 1 1 1 3 t 1 t a t 1 t 2 3 t 2 b t 2 ⋅ c d e  

Se v → ∈ K e r ( T ) , então:

T v → = 0

Daí:

c + d + e + t 3 c + d + a e + t 2 c + 3 d + b e = 0

Temos o seguinte sistema:

c + d + e = 0       I 3 c + d + a e = 0     I I c + 3 d + b e = 0       I I I

De ( I ) vem:

c =   - e - d

Substituindo em ( I I ) , temos:

- 3 e + d + d + a e = 0

⇒   - 2 d + e a - 3 = 0

∴ d = e a - 3 2

Logo,

c =   - e - e a - 3 2

∴ c = e 1 - a 2

Massa! Substituindo ambos os resultados em ( I I I ) , temos:

e 1 - a 2 + 3 ⋅ e a - 3 2 + b e = 0

e 1 - a + 3 a - 9 + 2 b 2 = 0

⇒ e a + b - 4 = 0

Aí temos duas opções:

a + b - 4 ≠ 0  

O que implica em:

e = 0

Ou

a + b - 4 = 0

Como queremos que T seja injetora, devemos ter:

dim ⁡ K e r T = 0

Logo, a gente realmente precisa que e seja igual a zero.

Assim, a solução é:

a + b - 4 ≠ 0

Portanto:

a + b ≠ 4

Essa é a condição para que T seja injetora.

Prontinho!!! Muito bom galera, bem interessante essa questão né?

Valeeeu, até a próximaaa 😊

Resposta

Letra C.

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