Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Seja W = p ∈ P 3 p 0 = 0 e D : W → P 3 definida por D p = p ' . Mostre que D é injetiva.

Passo 1

Para que D seja injetiva, ela tem que satisfazer a igualdade abaixo:

N u c D = 0

Vamos começar descobrindo o que D faz. Bom, ela leva vetores de W em suas derivadas.

Passo 2

O conjunto W é um conjunto de vetores da forma p = a x 3 + b x 2 + c x + d que satisfaçam a condição p 0 = 0 . Ou seja,

a 0 + b 0 + c 0 + d = 0

d = 0

Logo, W é formado por polinômios do tipo a x 3 + b x 2 + c x + 0 . E o vetor nulo de W é 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0 .

Passo 3

Então, temos:

D a x 3 + b x 2 + c x + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

Para encontrarmos o núcleo de D basta igualarmos ela ao vetor nulo do domínio W :

3 a x 2 + 2 b x + c = 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0

Se achar mais fácil de entender, pode escrever p em função da base x 3 , x 2 , x , 0 :

D a , b , c , 0 = 0,3 a , 2 b , c

0,3 a , 2 b , c = 0,0 , 0,0

Daí,

0 = 0 3 a = 0 2 b = 0 c = 0

A única solução para o sistema é:

a = b = c = 0

Logo,

N u c D = { 0 }

Portanto, D é injetiva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .