Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

02) Seja T : P 3 R → M 2 ( R ) a transformação linear definida por:

T a + b t + c t 2 + d t 3 = a + d b - c c + d a - b

para quaisquer a , b , c , d ∈ R . Assinale a alternativa a correta:

a) T é injetora;

b) dim ⁡ K e r T = 2 ;

c) T   é sobrejetora;

d) dim ⁡ I m T < dim ⁡ K e r T ;

e) dim ⁡ I m T = 3 .

Passo 1

Faaaaala pessoal, como vocês estão? Todo mundo animado pra matar mais uma questão de álgebra linear? Simbora!!

Aqui temos uma transformação linear T com domínio em P 3 , ou seja, polinômios no máximo de grau 3 , e contradomínio nas matrizes 2 × 2 de coeficientes reais. Tal que:

T a + b t + c t 2 + d t 3 = a + d b - c c + d a - b  

Beleza! São feitas algumas afirmações nas alternativas sobre T ser injetora, sobrejetora e também sobre as dimensões do seu espaço nulo e da sua imagem. Bora então descobrir cada uma dessas informações pra termos certeza na hora de marcar a alternativa, tranquilo?

Passo 2

Vamos começar descobrindo d i m ⁡ ( K e r T ) , isto é, a dimensão do espaço nulo. Com essa informação já conseguimos eliminar a alternativa B.

Eaí, lembra qual a definição do espaço nulo, K e r ( T ) ?

Hahaha, calma, o nome já diz tudo. O espaço nulo é o subespaço do domínio que, quando aplicados na transformação linear, geram apenas o elemento nulo do contradomínio. Sacou?

Pra descobrir quem são esses elementos, basta usar a própria definição.

Vamos supor inicialmente que um vetor genérico de P 3 ( R ) seja dado por:

v = m + n t + q t 2 + p t 3

onde m ,   n ,   q ,   p ∈ R . Daí, se v ∈ K e r ( T ) , é válido que:

T m + n t + q t 2 + p t 3 = 0 0 0 0

Mas, pela definição dessa transformação linear T , sabemos que:

T m + n t + q t 2 + p t 3 =   m + p n - q q + p m - n

Logo:

m + p n - q q + p m - n = 0 0 0 0

Com isso, temos 4 equações:

m + p = 0       I n - q = 0       I I q + p = 0       I I I m - n = 0       I V

De ( I ) , temos:

m = - p

De ( I I I ) , temos:

q =   - p

De ( I V ) , temos:

n = m =   - p

Logo, podemos reescrever v como sendo:

v =   - p - p t - p t 2 + p t 3

∴ v = p 1 - t - t 2 + t 3

Ou sejaaaa, quem que é o nosso espaço nulo, K e r ( T ) ?

É justamente os múltiplos do elemento u = ( 1 - t - t 2 + t 3 ) , que é a base de K e r ( T ) . Assim:

K e r T = ⟨ 1 - t - t 2 + t 3 ⟩

Top! Logo, como esse subespaço é gerado por apenas um vetor, podemos afirmar que:

dim ⁡ K e r T = 1

Bouaaaa! Já sabemos então que a letra B está errada 😊

Passo 3

Pô, já descobrimos que dim ⁡ K e r T = 0 , será que dá pra afirmar algo sobre a injetividade de T ?

Tem um teorema bem especial que é a chave, na maioria das questões, pra gente descobrir se uma transformação é injetora ou não. E ele é bem bem simples!

Basicamente, uma transformação linear T é injetora se, e somente se, dim ⁡ K e r T = 0 .

Sacou?

Logooo, como encontramos:

dim ⁡ K e r T = 1

Concluímos que T não é injetora!

Logo, a letra A também está incorreta.

Massa 😊

Passo 4

E quanto à sobrejetividade, como podemos avaliar se T é sobrejetora??

Tem outro teorema massa que ajuda nos ajuda. Segundo ele, uma transformação linear T é sobrejetora se, e somente se,

d i m ⁡ ( I m T = d i m ⁡ ( c o n t r a d o m í n i o )

Show! Nosso objetivo então vai ser calcular a dimensão da imagem e do contradomínio pra verificar se são iguais.

Assim, começando pelo contradomínio, sabemos que ele é o espaço vetorial das matrizes 2 × 2 . Sempre que precisamos descobrir a dimensão de um espaço vetorial formado por matrizes, basta multiplicar o número de linhas e o de colunas. Logo:

dim ⁡ M 2 × 2 = 4

Top!

Pra calcular a dimensão da imagem podemos usar o nosso querido, e importantíssimo, Teorema Fundamental da Álgebra (tem que estar no sangue hein galera), que fala:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Tranquilo?

Pô, mas por que que isso nos ajudou? Já que agora ao invés de calcular d i m ⁡ ( I m T ) precisamos calcular dim ⁡ d o m í n i o ?

É que o domínio é o espaço vetorial de P 3 ( R ) , e a dimensão do espaço vetorial de um polinômio é simplesmente o valor do seu grau acrescido de uma unidade. Ou sejaa:

dim ⁡ P 3 R = 3 + 1

∴ dim ⁡ P 3 R = 3

Bouaa! Portanto, usando o T.F.A (teorema fundamental da álgebra), temos:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ P 3 R - dim ⁡ K e r T

⇒ dim ⁡ I m T = 4 - 1

∴ dim ⁡ I m T = 3

Excelente! Logo, como dim ⁡ I m T ≠ d i m ⁡ ( c o n t r a d o m í n i o ) , chegamos à conclusão que T   não é sobrejetora!

Analisando as alternativas vemos que a letra E está correta, pois:

dim ⁡ I m T = 3

Ufaaaa! Prontinho galera, espero que vocês tenham curtido a solução.

Até a próxima 😉

Resposta

Letra E: dim ⁡ I m T = 3 .

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