Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Q13. Sejam a , b ∈ R e T : R 3 → P 3 R a transformação linear tal que:

T 1,0 , 0 = 1 + a t - t 2 ,   T 0,1 , 0 = - 1 + t + 2 t 2 - 5 t 3 e T 0,0 , 1 = 2 + b t - 3 t 2 + 5 t 3 .

Temos que T será injetora se, e somente se, a - b for diferente de :

a) 4;

b) 3;

c) 2;

d) 1;

e) 0.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar o valor de a - b para que T seja injetora.

Pra isso vamos lembrar que uma transformação é injetora se o Núcleo da transformação for somente o vetor 0.

Passo 2

Vamos achar a transformação:

T x , y , z = x T 1,0 , 0 + y T 0,1 , 0 + z T 0,0 , 1

= x 1 + a t + t 2 + y ( - 1 + t + 2 t 2 - 5 t 3 + z 2 + b t - 3 t 2 + 5 t 3

= x + a x t + x t 2 - y + y t + 2 y t 2 - 5 y t 3 + 2 z + b z t - 3 z t 2 + 5 z t 3

Então:

x - y + 2 z = 0

a x + y + b c = 0

x + 2 y - 3 z = 0

- 5 y + 5 z = 0

Manipulando isso tudo chegamos em:

a x - x - b x = 0

a - b = 1

Letra d

Resposta

Letra d

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .