Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Qual das transformações abaixo representa uma transformação linear SOBREJETIVA?

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!!

Lembram o que é uma transformação sobrejetiva? Vamos revisar

Bem, uma transformação T , T : R n → R m é sobrejetiva, se a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio, isto é, d i m ( I m ( T ) ) = d i m ( R m ) . Então, para nossa transformação ser sobrejetiva, precisamos checar se as dimensões das imagens em cada matriz são iguais à dimensão do contra domínio.

Passo 2

Bem, já discutimos que para uma T : R n → R m ser sobrejetiva precisamos que

d i m ( I m ( T ) ) = d i m ( R m )

para verificarmos as dimensões do domínio e do contradomínio. Podemos usar os valores das linhas e das colunas da matriz de transformação linear. Suponha que a nossa matriz seja A m x n , então a dimensão do domínio é n e do contradomínio é m .

Com isso em mente, vamos verificar a matriz da letra a). A matriz é:

A matriz é 2 x 2 , então a dimensão do contradomínio é 2 , mas como verificamos qual é a sua imagem? Ora, vemos o que a matriz faz com os vetores da base canônica.

Como a matriz da letra a é:

então:

A ( 1,0 ) T = ( 1,4 ) T

A ( 0,1 ) T = ( - 2 , - 8 ) T

Então a imagem da transformação é L { ( 1,4 ) , ( - 2 , - 8 ) } . Mas ao analisarmos esses vetores, vemos que eles são LD. Logo a dimensão da imagem de A é 1. Então essa transformação não é sobrejetiva.

Passo 3

Agora, vamos checar a matriz da letra c). A matriz é:

Bem, como ela tem 2 linhas, a dimensão do contradomínio é 2 . Vamos verificar o que essa matriz faz com os vetores da base canônica.

A ( 1,0 , 0 ) T = ( - 1,1 ) T

A ( 0,1 , 0 ) T = ( 2 , - 2 ) T

A ( 0,0 , 1 ) T = ( - 2 , - 2 ) T

Então a imagem de A , é dada por L { ( - 1,1 ) , ( 2 , - 2 ) , ( - 2 , - 2 ) } . Olhando com calma esse conjunto. Podemos ver que ele tem 2 vetores LI, então gera um espaço de dimensão 2 . Então concluímos que essa transformação é sobrejetiva.

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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