Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = x - 2 y + z , y - x , z - x

(a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injetora?

Passo 1

(a) O núcleo da transformação linear é a solução do sistema homogêneo.

Logo vamos igualar a expressão dada ao vetor nulo:

x - 2 y + z , y - x , z - x = 0,0 , 0

x - 2 y + z = 0 y - x = 0 z - x = 0

Pela segunda equação:

y - x = 0 ⇒ y = x

E pela terceira:

z - x = 0 ⇒ z = x

Então os vetores v = ( x , y , z ) que pertencem ao núcleo são da forma:

x , y , z = x , x , x = x 1,1 , 1

Logo, uma base para o núcleo é:

1,1 , 1

pois todos os vetores do núcleo são gerados a partir desse.

Passo 2

Para a transformação ser injetora, o núcleo deveria ser o conjunto vazio, ou seja, só poderia ter o vetor nulo dentro dele.

Mas vimos que na verdade o núcleo é gerado a partir do vetor ( 1,1 , 1 ) .

Logo, a transformação não é injetora.

Resposta

(a) Base:   1,1 , 1

Não é injetora.

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