Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

A transformação linear abaixo que é sobrejetiva é:

  1. A projeção ortogonal sobre o plano 8 x - 4 y - 5 z = 0 em R 3
  2. A projeção ortogonal sobre a reta L { ( - 4,1 ) } do R 2
  3. Um cisalhamento em R 2
  4. A projeção sobre a reta L { ( - 6,2 ) } do R 2 , seguida de uma reflexão sobre o eixo x em R 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é simples. Queremos saber qual transformação é Sobrejetiva. Lembram o que é uma transformação sobrejetiva?

Uma transformação é sobrejetiva se a dimensão da imagem da transformação é igual a dimensão do contra domínio.

Então vamos verificar qual das alternativas satisfaz a definição.

Passo 2

Começando pela letra a), temos:

A projeção ortogonal sobre o plano 8 x - 4 y - 5 z = 0 em R 3

E aí, vamos analisar essa transformação? Então, estamos pegando todos os pontos do R 3 e projetando eles em um plano. Logo a nossa imagem é o próprio plano. Um plano tem dimensão 2, mas o plano está em R 3 que tem dimensão 3. Então essa transformação NÃO é sobrejetiva.

Pelo mesmo argumento, vamos ter que a transformação da alternativa b) que é:

A projeção ortogonal sobre a reta L { ( - 4,1 ) } do R 2

é falsa.

Passo 3

Vamos checar a alternativa c). A transformação é o cisalhamento em R 2 . Lembram o que é cisalhamento?

Vamos relembrar.

De forma simplificada, cisalhamento é uma transformação que pega os retângulos do R 2 e transforma eles em paralelogramas. Tome como exemplo a imagem abaixo.

Bem, pela figura acima, podemos ver que os vetores da base do R 2 são levados em vetores LI em um cisalhamento. Ou seja, tem dimensão 2. Logo a transformação é sobrejetiva.

E com isso chegamos a conclusão que a letra c) contém uma transformação linear sobrejetiva

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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