Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Seja S o sistema linear A x → = v → .

Considere as afirmativas:

  1. Se A é injetiva então S possui solução e a solução é única
  2. Se A é sobrejetiva então S possui solução e a solução é única.
  1. I é falsa e II é verdadeira
  2. I é verdadeira e II é falsa
  3. I é falsa e II é falsa
  4. I é verdadeira e II é verdadeira

Passo 1

Belezera galerinha, o enunciado deu pra gente o sistema linear S , tal que:

S : A x → = v →

E na primeira afirmativa ele quer saber se quando A for injetiva, a solução de S será única

Mas saca só, pra gente ter certeza que o sistema possui solução, temos que garantir que o vetor v → está na imagem de A . Em outras palavras, temos que garantir que a imagem vai ocupar todo o contradomínio da função, não deixando nenhum vetor “fora” da imagem. Porque se caso houvesse esse vetor “fora” da imagem, não haveria solução para ele!! Ou seja, dada uma transformação A : R n → R m , onde o contradomínio é R m , temos que:

dim ⁡ I m A = m

E essa é EXATAMENTE a definição de uma função sobrejetiva, isso quer dizer que para garantirmos que uma função possua solução (sem saber se ela é única ou não) devemos verificar se a função é sobrejetiva. SÓ QUE nossa afirmativa I diz apenas que a função é injetiva, e para uma função ser injetiva é necessário que a dimensão do núcleo seja igual a 0 , tal que:

dim ⁡ N u c A = 0

Logo, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem com essas informações, temos que:

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

0 + dim ⁡ I m A ⏝ m = n

m = n

Isso quer dizer que para nosso sistema S ser injetivo e ter solução única, seria necessário que m = n . Então para qualquer caso em que m ≠ n , não seria possível essas duas condições coexistirem. Logo, não podemos dizer que nossa transformação S possui solução, e quiçá dizer que ela é única! Portanto nossa afirmativa I é falsa.

Passo 2

Belezera, já na afirmativa (II) ele diz que A é sobrejetiva, e quer saber se o sistema possui solução única. Só que a gente acabou de ver no Passo 1, que uma função sobrejetiva, garante a existência de solução, MAS NÃO nos garante se a solução é única ou se existem infinitas soluções. Então podemos garantir que a solução existe por ela ser sobrejetiva, mas não podemos garantir que essa solução será única, logo nossa afirmativa (II) também é falsa!!

Portanto nossa resposta certa é a letra (c), ambas falsas!

Resposta

Letra (c)

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