Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Seja T :   R 2 →   R 3 uma transformação linear. Sabendo que T ( 2 ,   0 ) = ( 0 ,   0 ,   4 ) e T ( 1 ,   2 )   =   ( 0 ,   0 ,   4 ) assinale a afirmativa FALSA:

(a) T não é sobrejetiva.

(b) T ( 3 ,   2 )   =   ( 0 ,   0 ,   4 )

(c) T não é injetiva.

(d) T ( x ,   y )   =   ( 0 ,   0 ,   2 x   +   y ) , para todo ( x ,   y ) ∈   R 2

(e) Não sei.

Passo 1

Bom! Vamos ver alternativa por alternativa!

Bom! Temos que T não é sobrejetiva, porque a imagem é diferente do contradomínio e nem injetiva porque não leva cada valor diferente do domínio a um valor diferente do contradomínio.

Sendo assim, as alternativas ( a ) e ( d ) estão corretas!

Passo 2

Vamos ver agora, a alternativa ( b ) .

Se liga! Essa é a alternativa errada! Se a gente soma duas T s acontece o seguinte...

T a 1 , b 1 + T a 2 , b 2 = T ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 )

T 2,0 + T 1,2 = T ( 3,2 )

T 3,2 = 0 ,   0 ,   4 + ( 0 ,   0 ,   4 )

T 3,2 = ( 0 ,   0 ,   8 )

E isso meio que prova que a letra ( d ) tá certa...

T ( x ,   y )   =   ( 0 ,   0 ,   2 x   +   y )

T ( 3 ,   2 )   =   ( 0 ,   0 ,   2 ⋅ 3   +   2 )

T ( 3 ,   2 )   =   ( 0 ,   0 ,   8 )

Sendo assim, a letra ( b ) é a alternativa falsa!

Resposta

Letra ( b )

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