Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Considere o produto C = A B .

(I) Se C é injetiva, então A é injetiva.

(II) Se C = 0 , então I m ( B ) ⊂ N ( A )

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(d) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Passo 1

Vamos começar lembrando que uma matriz representa uma transformação linear.

E uma transformação é apenas um outro nome pra função.

Então, assim como nas funções, as transformações também possuem domínio, contradomínio e imagem.

Vamos começar definindo que as transformações A e B sejam tais que:

A : U → V

B : V → W

(Já já vamos falar da C :D)

Assim como as funções, também podemos compor transformações lineares.

Se aplicamos primeiro a transformação B e depois a A, a composta vai ser dada por:

A ∘ B = A B

Que é a matriz C!

Então a transformação C é dada por:

C : U → W

C = A B

Agora vamos ver as alternativas.

Passo 2

Passo 3

(I) Se C é injetiva, então A é injetiva.

Uma transformação é injetiva quando elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes.

Vamos olhar o diagrama abaixo:

Ele mostra uma transformação C que é injetiva, pelo motivo que acabei de falar.

Mas lembra que vimos que C é a composta de A com B?

Então, podemos expandir esse diagrama desse jeito:

Nesse caso, a transformação A não é injetiva, pois temos elementos distintos com a mesma imagem.

Então a afirmação (I) é falsa: C ser injetiva não faz com que A seja injetiva.

Passo 4

(II) Se C = 0 , então I m ( B ) ⊂ N ( A )

Foi dado pra gente que

C = A B

Mas agora temos que C = 0 , então:

A B = 0

Agora vamos lembrar duas coisas:

  • A imagem de B é o espaço gerado pelas colunas
  • O núcleo de A é formado pelos elementos que são solução do sistema homogêneo

Como o espaço gerado pelas colunas de B faz com que A resulte em uma matriz nula, então a imagem de B está contida no domínio de A.

Essa afirmação é verdadeira.

Resposta

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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