Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

08) Considere as seguintes afirmações:

I existe uma transformação linear T : P 6 R → P 6 ( R ) tal que:

K e r T = I m T ;

( I I ) se V for um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V for uma transformação linear tal que K e r T ∩ I m T = { 0 ) , então:

V = K e r T + I m T ;

( I I I ) existe uma transformação linear bijetora T : P 8 R → M 4 × 2 ( R ) .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

b) todas as afirmações são falsas;

c) apenas a afirmação ( I I I ) é verdadeira;

d) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras;

e) apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira.

Passo 1

Eaí galerinha, como vocês estão?

Mais uma questãozinha clássica de álgebra linear, com várias afirmações para nós avaliarmos. Bora analisar uma de cada vez!

( I ) Essa afirmação fala que existe uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em P 6 ( R ) , tal que:

K e r T = I m ( T )

Eaí? Será que é verdade?

Bom, pensa comigo, se K e r T = I m ( T ) , também vale que:

dim ⁡ K e r T = d i m ⁡ ( I m T )

Mas, pelo Teorema fundamental da álgebra sabemos também que:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

O nosso domínio é P 6 ( R ) , qual que é a dimensão desse espaço?

Então, dimensão de espaço de polinômios é bem tranquila de calcular. É só a gente pegar o grau máximo dos polinômios nesse espaço e somar 1 . Ou seja:

dim ⁡ P 6 R = 6 + 1

dim ⁡ P 6 R = 7

Daí, voltando pra equação do nosso teorema fundamental, vamos ter que:

7 = 2 ⋅ dim ⁡ K e r T

∴ dim ⁡ K e r T = 3,5

Pois é galera! Isso não pode, a dimensão é sempre um número inteiro. Fechou?

Logo, a afirmação ( I ) é falsa!!

Passo 2

( I I ) Na segunda afirmação temos um espaço V de dimensão finita e uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em V , tal que K e r T ∩ I m T = { 0 } . A afirmação diz que, se tudo isso for verdade, então:

V = K e r T + I m ( T )

Parece complicado né? Mas vamos com calma, qual o teorema que relaciona V , K e r ( T ) e I m ( T ) ?

Esse tem que estar no sangue hein galera! É o Teorema Fundamental da Álgebra! Segundo ele:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + d i m ⁡ ( I m T )

Massa! Então já vemos que uma abordagem legal pra esse problema é pensar nas dimensões.

Bora então calcular d i m ⁡ ( K e r T + I m T ) e tentar chegar que isso, de fato, vale d i m ⁡ ( V ) . Beleza?

dim ⁡ K e r T + I m T = dim ⁡ K e r T + d i m ⁡ ( I m T - d i m ⁡ ( K e r T ∩ I m T )

É tipo o cálculo de elementos de um conjunto, precisamos descontar a intersecção 😉

Só que, pelo enunciado, sabemos que:

K e r T ∩ I m T = 0

Logo:

dim ⁡ K e r T ∩ I m T = 0

Substituindo, vamos ter que:

dim ⁡ K e r T + I m T = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Agora sim, pelo teorema fundamental da álgebra, chegamos que:

dim ⁡ K e r T + I m T = d i m ⁡ ( V )

Daí, como K e r T + I m ( T ) está contido em V , segue que dessas duas informações que:

K e r T + I m T = V

Bouaaaa! Então a afirmação ( I I ) é verdadeira 😊

Passo 3

( I I I ) Pra terminar a questão, a terceira afirmação fala que existe uma transformação linear T bijetora com domínio em P 8 ( R ) e contradomínio em M 4 × 2 ( R ) .

Puts, mas o que é uma transformação T bijetora?

Hahaha é uma transformação que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, verdade. Mas, vamos um pouco mais fundo, quando que uma transformação é injetora e quando que ela é bijetora?

Pra ser injetora devemos ter:

dim ⁡ K e r T = 0

Pra ser sobrejetora devemos ter:

dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( C o n t r a d o m í n i o )

Massa! Vamos supor então que realmente exista uma transformação T segundo as condições da afirmação ( I I I ) . Assim:

dim ⁡ K e r T = 0

dim ⁡ I m T = dim ⁡ M 4 × 2 R

Beleza! A dimensão de uma matriz é o produto do número de linhas pelo de colunas, logo:

dim ⁡ I m T = 8

Pra testar se tudo isso realmente pode acontecer, devemos verificar se o Teorema Fundamental da álgebra permanece válido. O domínio é P 8 ( R ) , logo:

dim ⁡ d o m í n i o = 8 + 1 = 9

Daí, aplicando o teorema devemos ter que:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Substituindo os valores:

9 = 0 + 8

Ué, isso é um absurdo né? Ou seja, a afirmação ( I I I ) não pode ser verdadeira.

Bommm!! Com isso finalizamos mais uma questão, pessoal. Vocês entenderam direitinho?!

Obrigado pela atenção, tamo junto 😉

Resposta

Letra E.

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