Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Dada a transformação abaixo:

T x , y = x + y , x - y , 2 x

a Ache uma base para a imagem de T e a sua dimensão;

b Verifique se T é bijetiva.

Passo 1

a Para calcular geradores para a imagem de T , basta “abrir” a transformação:

x + y , x - y , 2 x = x 1,1 , 2 + y ( 1 , - 1,0 )

Assim, como os geradores são L I , uma possível base para a imagem de T é:

α = 1,1 , 2 , 1 , - 1,0

Logo:

dim ⁡ I m T = 2

Passo 2

b Para saber se T é bijetiva, ela deve ser injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Olhando para a fórmula da nossa transformação podemos ver:

T : R 2 → R 3

Como o contra-dominio é o R 3 , sua dimensão é 3. A gente sabe também que dim ⁡ I m T = 2 e, portanto, a dimensão da imagem é diferente da dimensão do contra-domínio.

Logo, a transformação não é sobrejetiva. Como não é sobrejetiva, ela não pode ser bijetiva.

Resposta

a ) α = { 1,1 , 2 , 1 , - 1,0 } e dim ⁡ I m T = 2 .

b ) Não.

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