Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = x - 2 y + z , y - x , z - x

(b) Determine uma base para a imagem de T. T é sobrejetora?

Passo 1

Vamos pegar um vetor genérico v = ( a , b , c ) que pertence à imagem.

Então:

x - 2 y + z , y - x , z - x = a , b , c

x - 2 y + z = a y - x = b z - x = c

Montando a matriz aumentada desse sistema e escalonando:

1 - 2 1 - 1 1 0 - 1 0 1 a b c

L 2 ← L 2 + L 1

L 3 ← L 3 + L 1

L 3 ← L 3 - 2 L 2

Para que esse sistema tenha solução, o lado direito da última linha também tem que ser 0:

c - a - 2 b = 0

∴ a = c - 2 b

Os vetores da imagem são então:

a , b , c = c - 2 b , b , c = - 2 b , b , 0 + c , 0 , c

a , b , c = b - 2,1 , 0 + c ( 1,0 , 1 )

Como os vetores - 2,1 , 0 e ( 1,0 , 1 ) são LI e os vetores da imagem são combinações lineares deles, então eles formam uma base para a imagem:

- 2,1 , 0 , 1,0 , 1

Passo 2

Para a transformação linear ser sobrejetiva:

dim ⁡ I m = dim ⁡ R 3 = 3

Mas a dimensão da imagem é 2 (só temos 2 vetores na base), então ela não é sobrejetiva.

Resposta

(b) Base: - 2,1 , 0 , 1,0 , 1

Não é sobrejetiva.

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