Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2016, Questão 3c

Calcule

lim x , y 0,0 e - x 2 - y 2 - 1 x ² + y 2

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y .

lim x , y 0,0 e - x 2 - y 2 - 1 x ² + y 2 = e 0 - 1 0 + 0 = 0 0

Temos uma indeterminação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repara que temos uma função se repetindo ali no limite, no caso essa função é x ² + y 2 . Veja:

lim x , y 0,0 e - ( x 2 + y 2 ) - 1 x ² + y 2

Podemos usar a mudança de variáveis

u = x 2 + y 2

Além disso

x , y 0,0 u 0 ² + 0 2 = 0

Então

u 0

Passo 3

Esse limite vai ficar

lim x , y 0,0 e - ( x 2 + y 2 ) - 1 x + y 2 = lim u 0 e - u - 1 u

Agora temos um limite onde podemos usar regra de L’hospital.

Temos que resolver

lim u 0 e - u - 1 u

Passo 4

Já vimos que dá uma indeterminação do tipo 0 0 então vamos usar L’hospital

lim u 0 e - u - 1 u = lim u 0 - e - u 1 = - 1 1 = - 1

Resposta

lim x , y 0,0 e - x 2 - y 2 - 1 x + y 2 = - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas