Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(b) lim x , y → 0,0 ⁡ x y x y

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que verificar se o limite da função f x , y = x y x y para x , y → 0,0 .

Parece muito dificil? 👀

O limite de uma função resulta no valor que a função tende a assumir quando x , y tende a um ponto...

Nesse caso podemos usar o método de aproximação por meio de curvas que passam no ponto que estamos interessados.

Ou seja, dessa forma, definimos y em função de x ou x em função de y e substituímos no limite. Dessa forma um problema tridimensional se torna bidimensional, que é muito mais fácil de trabalhar...

Sacou? Vamo lá! 👀

Passo 2

Podemos começar nossa aproximação por meio da curva y = x .

Substituindo y por x no limite, vamos chegar em

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x y → lim x → 0 ⁡ x x x x

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2

Como x 2 sempre resulta em um sinal positivo, então podemos dizer que x 2 = x 2 , ou seja

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 → lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 = 1

Agora se nos aproximarmos através da curva y = - x e fazendo o mesmo processo, vamos obter

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x y → lim x → 0 ⁡ x - x x - x

lim x → 0 ⁡ - x 2 - x 2

Aqui podemos reescrever - x 2 como x 2 , ou seja

lim x → 0 ⁡ - x 2 x 2 = - 1

Como obtemos dois resultados diferentes, podemos afirmar que o limite de f diverge!

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x y = D i v e r g e

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x y = D i v e r g e

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Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
Calcular os limites seguintes:h) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) ln [(x y - 1)/(2 x y + 4)]
Calcular os seguintes limites de funções compostas:b) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ e 1 x + y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1
Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:f) lim x → 0 y → 2 ⁡ 1 + x 1 + x y x