Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule os limites abaixo.

g) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função de duas variáveis, f x ,   y = x y x + y x 2 + y 2 , quando ( x ,   y ) tende a ( 0 ,   0 ) .

A primeira coisa que nós podemos fazer é verificar se existe alguma indeterminação quando aplicamos o ponto para o qual tende a função. Se isso não ocorrer, podemos aplicar o limite diretamente. Se houver alguma indeterminação, vamos buscar alguma alternativa algébrica pra fugir dela.

Vamos lá!

Passo 2

Para o limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2

Aplicando x = 0 e y = 0 , na função temos:

= 0 ∙ 0 0 + 0 0 2 + 0 2 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação. Para fugir dela vamos usar as coordenas polares, fazendo:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo no limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2 = lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ ( r cos ⁡ θ ) ( r sin ⁡ θ ) ( r cos ⁡ θ ) + ( r sin ⁡ θ ) ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ) 2

Multiplicando os termos:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r ( cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 e simplificando, temos:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ cos ⁡ θ sin ⁡ θ r ( cos ⁡ θ + sin ⁡ θ )

Então, saímos da indeterminação e podemos aplicar o limite:

= cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 ∙ ( cos ⁡ θ + sin ⁡ θ )

= cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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